Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 7: Cho a, b, c, d ∈ Z thỏa mãn a³ + b³ = 2( c ³ – 8d ³ ) . Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3

Tháng Tám 3, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 7: Cho a, b, c, d ∈ Z thỏa mãn a³ + b³ = 2( c ³ – 8d ³ ) . Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3

Comments ( 1 )

  1. ngochuong2k2
    ngochuong2k2
    3 Tháng Tám, 2022 at 9:52 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    chứng minh
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    $a^{3} + b^{3} = 2( c^{3} – 8d^{3} )$
    ⇔ $a^{3} + b^{3} = 2c^{3} – 16d^{3}$
    ⇔ $a^{3} + b^{3} – 2c^{3} + 16d^{3} = 0$
    ⇔ $( a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} ) – 3c^{3} + 15d^{3} = 0$
    ⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3c^{3} – 15d^{3}$
    Nhận xét : $3c^{3} – 15d^{3}$ chia hết cho $3$
    Để tồn tại $a , b , c , d ∈ Z$ thỏa mãn đề bài thì :
    $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}$ chia hết cho $3$
    Ta có : 
    $a^{3} + b^{3}$
    $= ( a^{3} + a^{2}b ) + ( ab^{3} + b^{3} ) – ( a^{2}b + ab^{2} )$
    $= a^{2}( a + b ) + b^{2}( a + b ) – ab( a + b )$
    $= ( a + b )( a^{2} – ab + b^{2} )$
    $= ( a + b )[ ( a^{2} + ab ) + ( ab + b^{2} ) – 3ab ]$
    $= ( a + b )[ a( a + b ) + b( a + b ) – 3ab ]$
    $= ( a + b )[ ( a + b )^{2} – 3ab ]$
    $= ( a + b )^{3} – 3ab( a + b )$
    Tương tự :
    +) $c^{3} + d^{3} = ( c + d )^{3} – 3cd( c + d )$
    +) $( a + b )^{3} + ( c + d )^{3} = ( a + b + c + d )^{3} – 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d )$
    Lại có :
    $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = ( a + b )^{3} – 3ab( a + b ) + ( c + d )^{3} – 3cd( c + d )$
    ⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = [ ( a + b )^{3} + ( c + d )^{3} ] – 3ab( a + b ) – 3cd( c + d )$
    ⇔ $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = ( a + b + c + d )^{3} – 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d ) – 3ab( a + b ) – 3cd( c + d )$
    Nhận xét :
    $- 3( a + b )( c + d )( a + b + c + d ) – 3ab( a + b ) – 3cd( c + d )$ chia hết cho $3$
    Mà $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}$ chia hết cho $3$
    ⇒ $( a + b + c + d )^{3}$ chia hết cho $3$
    ⇒ $a + b + c + d$ chia hết cho $3$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Hoàng Hà

About Hoàng Hà