Toán Lớp 6: `116`.Cho `a,b` là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng tỏ rằng `5a + 2b` và `7a + 3b` cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Question

Toán Lớp 6:  116.Cho a,b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

minhtuyethue · Answer

Gọi d l&agrave; ƯCLN của 5a + 2b v&agrave; 7a +3b. Khi đ&oacute;, 5a+2b chia hết cho d; 7a +3b chia hết cho d    N&ecirc;n 7.(5a+2b) ; 5.(7a+3b) ; 3.(5a+2b) v&agrave; 2.(7a+3b) chia hết cho d   Suy ra 7.(5a+2b) &ndash; 5.(7a+3b) cũng chia hết cho d   3.(5a+2b) &ndash; 2.(7a+3b) cũng chia hết cho d   Ta được b chia hết cho d v&agrave; a chia hết cho d   M&agrave; a,b l&agrave; 2 số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau n&ecirc;n d=1   Vậy 5a+2b v&agrave; 7a+3b cũng l&agrave; hai số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau.

thanhmaianh · Answer

Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).   &rArr; 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d.   Do đ&oacute; 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) cũng chia hết cho d.   Khi đ&oacute;, ta c&oacute;: 5(7a + 3b) - 7(5a + 2b) = 35a + 15b &ndash; (35a + 14b) = b chia hết cho d.   Ta lại c&oacute; 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) cũng chia hết cho d.   Khi đ&oacute;, ta c&oacute;: 3(5a + 2b) - 2(7a + 3b) = 15a + 6b &ndash; (14a + 6b) = a cũng chia hết cho d.   M&agrave; a v&agrave; b nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau n&ecirc;n d = 1.  ( đ&atilde; được chứng minh )   Vậy 5a + 2b v&agrave; 7a + 3b l&agrave; hai số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau