Toán Lớp 10: Giải hệ phương trình đối xứng loại II 2 ẩn: `{(x^2=y^3-3y^2+2y),(y^2=x^3-3x^2+2x):}`

Question

Toán Lớp 10:  Giải hệ phương trình đối xứng loại II 2 ẩn:  {(x^2=y^3-3y^2+2y),(y^2=x^3-3x^2+2x):}

thanhbinh2k5 · Answer

{(y^2=x^3-3x^2+2x),(x^2=y^3-3y^2+2y):}(đổi vị trí x;y không sao đâu ạ) <=>{(y^2=x^3-3x^2+2x),(y^2-x^2=x^3-y^3-3x^2+3y^2+2x-2y):} <=>{(x^3-3x^2+2x-y^2=0),((x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x+y)(x-y)+2(x-y)=0):} <=>{(x^2-3x^2+2x-y^2=0),((x-y)(x^2+xy+y^2-2x-2y+2)=0(**)):} Mà: x^2+xy+y^2-2x-2y+2=0 <=>2x^2+2xy+2y^2-4x-4y+4=0 <=>x^2+y^2+(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y)=0 <=>x^2+y^2+(x+y-2)^2=0 <=>{(x=0),(y=0),(x+y-2=0):}(vô lý) Do đó: x^2+xy+y^2-2x-2y+2 ne0 Nên (**)<=>{(x^2-3x^2+2x-y^2=0),(x-y=0):} <=>{(x^2-3x^2+2x-x^2=0),(y=x):} <=>{(x(x^2-4x+2)=0),(y=x):} <=>{(x=0 text{hoặc}x^2-4x+2=0),(y=x):} <=>{(x=0 text{hoặc}x=2+- sqrt{2}),(y=x):} Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y)=(0;0),(2+ sqrt{2};2+ sqrt{2}),(2- sqrt{2};2- sqrt{2})

cobexinhdep · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: {(x^2=y^3-3y^2+2y(1)),(y^2=x^3-3x^2+2x(2)):} Lấy (2)-(1) ta được (x^3-y^3)-(3x^2-3y^2)+2(x-y)=y^2-x^2 <=>(x^3-y^3)-3(x^2-y^2)+2(x-y)+x^2-y^2=0 <=>(x^3-y^3)-2(x^2-y^2)+2(x-y)=0 <=>(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)(x+y)+2(x-y)=0 <=>(x-y)[x^2+xy+y^2-2(x+y)+2]=0 Ta có A=x^2+xy+y^2-2(x+y)+2=(x+y)^2-xy-2(x+y)+2 Áp dụng BĐT xy<=(x+y)^2/4 AAx,y =>A>=(x+y)^2-(x+y)^2/4 -2(x+y)+2=3/4 (x+y)^2-2(x+y)+2 =>A>=3/4 (x+y-4/3)^2+2/3>=2/3>0 =>A>0 =>x-y=0 =>x=y Thay vào (1)=>x^2=x^3-3x^2+2x =>x^3-4x^2+2x=0 =>x(x^2-4x+2)=0 @x=0=>x=y=0 @x^2-4x+2=0 =>x=2+- sqrt{2} =>(x,y)=(2+ sqrt{2},2+ sqrt{2});(2- sqrt{2},2- sqrt{2}) Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x,y)=(0,0);(2+ sqrt{2},2+ sqrt{2});(2- sqrt{2},2- sqrt{2})