Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a2 + b2⩾1/2 với a+b ⩾1 a3+b3⩾1/4 với a+b ⩾1 Làm nhanh dùm mình với á. Vote 5sao và ctlhn cho ai nhanh

Tháng Một 8, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a2 + b2⩾1/2 với a+b ⩾1
a3+b3⩾1/4 với a+b ⩾1
Làm nhanh dùm mình với á. Vote 5sao và ctlhn cho ai nhanh và chính xác nhất ạ.

Comments ( 2 )

  1. tongtung
    tongtung
    8 Tháng Một, 2023 at 8:33 chiều
    Reply
    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy – Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:.
    $\circledast\quad \dfrac{a^2}{1}+ \dfrac{b^2}{1}\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}$
    $\Leftrightarrow a^2 + b^2 \geqslant \dfrac12$
    Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi
    $\begin{cases}\dfrac1a =\dfrac1b\\a + b = 1\end{cases}\Leftrightarrow a = b=\dfrac12$
    $\circledast\quad a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$
    $\bullet\quad a+b\geqslant 1$
    $\bullet\quad a^2+b^2 \geqslant \dfrac12$
    $\bullet\quad ab \leqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 = \dfrac14$
    $\Leftrightarrow – ab \geqslant -\dfrac14$
    Ta được:
    $(a+b)(a^2 -ab + b^2)\geqslant 1.\left(\dfrac12 -\dfrac14\right)$
    $\Leftrightarrow a^3+b^3 \geqslant \dfrac14$
    Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi
    $\begin{cases}\dfrac1a =\dfrac1b\\a+b=1\\a=b\end{cases}\Leftrightarrow a = b =\dfrac12$

  2. dinhcongson
    dinhcongson
    8 Tháng Một, 2023 at 8:32 chiều
    Reply
    $\\$
    Chứng minh a^2+b^2\ge 1/2 với a+b\ge 1
    a^2+b^2
    =a^2/1+b^2/1
    Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta được :
    a^2/1+b^2/1\ge (a+b)^2/(1+1)
    ->a^2+b^2\ge (a+b)^2/2 \ge 1^2/2
    -> a^2+b^2\ge 1/2
    Dấu “=” xảy ra khi : 
     a=b=1/2
    Chứng minh a^3+b^3\ge 1/4 với a+b\ge 1
    a+b\ge 1
    ->a\ge 1-b
    ->a^3\ge (1-b)^3=1-3b+3b^2-b^3
    -> a^3+b^3\ge 3b^2 – 3b +1
    -> a^3+b^3 \ge 3 (b^2 – 2 . b . 1/2 + 1/4) +1/4=3(b-1/2)^2+1/4\ge 1/4
    ->a^3+b^3\ge 1/4
    Dấu “=” xảy ra khi :
    a=b=1/2

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Việt Hòa

About Việt Hòa