Toán Lớp 10: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a

Question

Toán Lớp 10:  Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a

diepbich93 · Answer

Ta c&oacute;: VT = MA^2 + MB^2+ MC^2+ MD^2   = ( vec(MO)+  vec(OA))^2+ ( vec(MO)+  vec(OB))^2+( vec(MO)+  vec(OC))^2 +( vec(MO)+  vec(OD))^2   = 4 vec(MO)^2+  vec(OA)^2 +  vec(OB)^2+  vec(OC)^2+  vec(OD)^2   +2 vec(MO).  vec(OA) + 2 vec(MO).  vec(OB)+2 vec(MO).  vec(OC)+ 2 vec(MO).  vec(OD)   =4 vec(MO)^2+ vec(OA)^2 +  vec(OB)^2+ vec(OC)^2+ vec(OD)^2   +2 vec(MO). ( vec(OA) +  vec(OC)+ vec(OB)+  vec(OD))   =4MO^2+OA^2 + OB^2+OC^2+ OD^2   = 4MO^2 +4( sqrt(2)/2a)^2 (V&igrave; OA=OB=OC=OD= sqrt(2)/2a)   = 4OM^2 +2a^2 =VP (đpcm)   Vậy: MA^2+ MB^2+MC^2+MD^2 = MO^2 +2a^2

thanhtung · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: Lấy $N$ đối xứng $M$ qua $O$ $ => AMCN $ là hbh $ => AN = MC; MN = 2MO$ $ AMC = 180^{0} - MAN => cosMAN = - cosAMC$ Áp dụng định lý hàm số cosin lần lượt cho tam giác $ AMC; AMN$ ta có: $ AC^{2} = MA^{2} + MC^{2} - 2MA.MC.cosAMC$ $ <=> 2a^{2} = MA^{2} + MC^{2} - 2MA.MC.cosAMC (1)$ $ MN^{2} = MA^{2} + AN^{2} - 2MA.AN.cosMAN$ $ <=> 4MO^{2} = MA^{2} + MC^{2} + 2MA.MC.cosAMC (2)$ $ (1) + (2) : 2MO^{2} + a^{2} = MA^{2} + MC^{2}$ Tương tự $ : 2MO^{2} + a^{2} = MB^{2} + MD^{2}$ $ => 4MO^{2} + 2a^{2} = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2}$