Toán Lớp 8: Cho ΔABC cân ở A. Kẻ AH⊥BC tại H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M. a) Chứng minh t

Question

Toán Lớp 8: Cho ΔABC cân ở A. Kẻ AH⊥BC tại H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.
a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình thoi
b) Chứng minh AH, MN, EC đồng quy.
c) Tìm điều kiện của ΔABC để tứ giác AHBE là hình vuông.
d) Tìm điều kiện của ΔABC để tứ giác AEHN là hình thang cân., hướng dẫn giải giúp em bài này ạ, em cảm ơn thầy cô và các bạn nhiều.

in progress 0
Thanh Thu 6 tháng 2022-06-19T10:25:57+00:00 2 Answers 0 views 0

TRẢ LỜI ( 2 )

  1. $\underline{\text{A – AMHN LÀ HÌNH THOI}}$
    + Xét ΔABC cân tại A (gt) có: AH là đường cao (AH ⊥ BC tại H)
    ⇒ AH là đường trung tuyến của ΔABC (t/c Δ cân)
    => H là trung điểm BC 
    + Xét ΔABC có:
    $\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{H là trung điểm BC (cmt)} \\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MH là đường TB của ΔABC (t/c)}\\ ⇒ \text{MH // AC (t/c)}$
    hay MH // AN (N ∈ AC)
    + Có: MH là đường TB của ΔABC (cmt)
    => MH = 1/2AC (t/c)
    mà AN = 1/2 AC (N là trung điểm AC – gt)
    ⇒ MH = AN (= 1/2 AC)
    + Xét ΔAHC vuông tại H (AH ⊥ BC tại H), ta có:
           MH là đường trung tuyến (M là trung điểm AB)
    ⇒ MH = 1/2AB (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)
    mà AM = 1/2AB (M là trung điểm AB)
    ⇒ MH = AM (= 1/2AB)
    + Xét tứ giác AMHN có:
    $\left.\begin{matrix} \text{AN // MH (cmt)}\\\text{AN = MH (cmt)} \\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AMHN là hình bình hành (ADHNB)}$
    mà AM = MH (cmt)
    ⇒ AMHN là hình thoi (DHNB)
    $\\$
    $\underline{\text{B – CM: AH, MN, EC ĐỒNG QUY}}$
    Gọi O là giao điểm của AH và MN $^{(1)}$
    + Xét hình thoi AMHN (cmt) có: O là giao điểm 2 đường chéo AH và MN (cv)
    ⇒ O là trung điểm AH và MN (t/c)
    + Có: E đối xứng với H qua M (gt)
    ⇒ M là trung điểm EH (đ/n)
    ⇒ HM = 1/2EH
    + Có:
    $\left.\begin{matrix} \text{HM = $\dfrac{1}{2}$EH (cmt)}\\\text{AN = $\dfrac{1}{2}$AC (cmt) } \\ \text{HM = AN (cmt)} \end{matrix}\right\}⇒ EH = AC $
    + Xét tứ giác AEHC có:
    $\left.\begin{matrix} \text{AC // EH (hay AC // MH – cmt)}\\\text{AC = EH (cmt)} \\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AEHC là hình bình hành (DHNB)}$
    + Xét hình bình hành AEHC có: O là trung điểm AH (cmt)
    ⇒ O là giao điểm AH và EC (t/c) $^{(2)}$
    Từ $^{(1)}$ và $^{(2)}$ => AH, MN, EC đồng quy (đpcm)
    $\\$
    $\underline{\text{C – TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA ΔABC ĐỂ AHBE LÀ HÌNH VUÔNG}}$
    + Xét tứ giác AHBE có:
    $\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{M là trung điểm HE (cmt)} \\ \text{AB ∩ HE tại M } \end{matrix}\right\}\text{⇒ AHBE là hình bình hành (DHNB)}$
    mà $\widehat{AHB} = 90^o$ 
    ⇒ AHBE là hình chữ nhật (DHNB)
    + Xét ΔABC cân tại A (gt) có: AH là đường cao (cmt)
    => AH là phân giác \hat{BAC} (t/c Δ cân)
    ⇒ \hat{HAB} = 1/2 \hat{BAC}
    + Để hình chữ nhật AHBE là hình vuông thì: 
    AB là phân giác $\widehat{EAH}$ 
    <=> $\widehat{HAB} = \dfrac{1}{2}\widehat{EAH} = \dfrac{1}{2}.90^o = 45^o$
    mà \hat{HAB} = 1/2 \hat{BAC} (cmt)
    => \hat{BAC} = 2\hat{HAB} = 2.45^o = 90^o
    => \triangleABC vuông tại A
    mà ΔABC cân tại A (gt)
    ⇒ ΔABC vuông cân tại A
    Vậy: ΔABC vuông cân tại A thì AHBE là hình vuông.
    $\\$
    $\underline{\text{D – TÌM ĐK CỦA ΔABC ĐỂ AEHN LÀ HÌNH THANG CÂN}}$
    + Có:
    $\left.\begin{matrix} \text{EM = $\dfrac{1}{2}$ EH = $\dfrac{1}{2}$ AB }\\\text{AM = $\dfrac{1}{2}$ AB}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ EM = AM}\\ \text{⇒ ΔAEM cân tại M (đ/n)}$
    ⇒ \hat{AEM} = \hat{EAM} (t/c)
    + Có: AN // HE (cmt)
    ⇒ AEHN là hình thang (đ/n)
    + Để hình thang AEHN là hình thang cân ⇔ \hat{AEH} = \hat{NHE}
    mà \hat{AEH} = \hat{EAM} (hay \hat{AEM} = \hat{EAM})
    ⇔ \hat{NHE} = \hat{EAM} (= \hat{AEH})
    mà \hat{ABC} = \hat{ACB} = \hat{EAM} (t/c phân giác hình chữ nhật )  
    ⇒ \hat{NHE} = \hat{ABC} = \hat{ACB}
    mà \hat{NHE} = \hat{BAC} (hình thoi $AMHN$)
    ⇒ \hat{BAC} = \hat{ABC} = \hat{ACB} (= \hat{NHE})
    ⇒ ΔABC đều
    KL: Vậy ΔABC đều thì AEHN là hình thang cân. 

    toan-lop-8-cho-abc-can-o-a-ke-ah-bc-tai-h-goi-m-n-theo-thu-tu-la-trung-diem-cua-ab-va-ac-goi-e-l

  2. $\\$
    a,
    AM=1/2 AB, AN=1/2 AC (gt)
    =>AM=AN (Do AB=AC) (*)
    \triangle AHB vuông tại H có HM là đường trung tuyến (gt)
    =>HM=1/2 AB mà AM=1/2 AB (gt)
    =>AM=HM (**)
    \triangle AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến (gt)
    =>HN=1/2 AC mà AN=1/2 AC (gt)
    =>AN=HN (***)
    (*)(**)(***) => AM=HM=HN=AN
    Tứ giác AMHN có :
    AM=HM=HN=AN (cmt)
    <=>AMHN là hình thoi
    b,
    Gọi O là giao của AH,MN (1)
    AMHN là hình thoi (cmt)
    <=>O là trung điểm của AH, MN và hat{BAC}=hat{MHN}
    E đối xứng H qua M (gt) nên M là trung điểm của EH
    Tứ giác AHBE có : E là trung điểm của HE,AB (gt, cmt)
    <=>AHBE là hình bình hành mà hat{AHB}=90^o (gt)
    <=>AHBE là hình chữ nhật
    =>AE=BH $, AE//BH, HE=AB$
    \triangle ABC cân tại A có AH là đường cao (gt)
    =>AH là đường trung tuyến, phân giác
    =>H là trung điểm của BC
    =>BH=CH mà AE=BH (cmt)
    =>AE=CH
    Tứ giác AEHC có :
    AE=CH $,AE//CH$ (cmt)
    <=>AEHC là hình bình hành
    Nên AH cắt EC tại trung điểm mỗi đường mà O là trung điểm của AH (cmt)
    =>O là trung điểm của EC
    =>EC đi qua O (2)
    (1)(2) => AH,MN,EC đồng quy
    c,
    AEBH là hình vuông
    =>AB là tia phân giác hat{EAH} và hat{EAH}=90^o
    =>hat{BAH}=1/2 hat{EAH} mà hat{BAH}=1/2 hat{BAC} (cmt)
    =>hat{EAH}=hat{BAC}=90^o
    =>\triangle ABC vuông cân tại A
    Vậy \triangle ABC vuông cân tại A để AHBE là hình vuong
    d,
    AEHN là hình thang cân
    =>hat{AEM}=hat{MHN}
    EM=1/2 EH=1/2 AB, AM=1/2 AB (cmt)
    =>EM=EA nên \triangle EMA cân tại M
    =>hat{AEM}=hat{EAM} 
    =>hat{MHN}=hat{EAM} mà hat{EAM}=hat{ABC}=hat{ACB}
    =>hat{MHN}=hat{ABC}=hat{ACB}
    =>hat{ABC}=hat{ACB}=hat{BAC}
    =>\triangle ABC đều
    Vậy \triangle ABC đều để AEHN là hình thang cân
     

Leave an answer

Browse

12:2+4x4-12:2-5x3 = ? ( )