Toán Lớp 8: Bài 4 : (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thắng vuông góc
với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh AAQR và AAPS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm ASQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
Leave a reply
Comments ( 2 )
=>AM=MQ=MR
=>ΔAMR cân tại M và ΔAMQ cân tại M
=>MARˆ=MRAˆ và MAQˆ=MQAˆ
Mà MRAˆ+MQAˆ=90o
MARˆ=MRAˆ=MAQˆ=MQAˆ=45o
=>AMQˆ=AMRˆ=90o
Xét ΔAMQ và ΔAMR, có:
MQ=MR
AMQˆ=AMRˆ=90o
AM chung
=>ΔAMQ=ΔAMR (c.g.c)
=>AQ=AR
=>Tam giác AQR cân tại A
+)Chưng minh tương tự với 2 tam giác ANS=ANP
ta đc AS=AP
=>Tam giác APS cân tại A
b)+)Có PANˆ+PAMˆ=BANˆ
Thay số: 45o+45o=MANˆ
=>MANˆ=90o
=>AN là đương cao ứng với PS
=>ANPˆ=90o
+)Có tam giác AQR cân tại A và đương trung tuyến AM
=>AM là đường cao ứng với QR
=>AMQˆ=90o hay AMHˆ=90o
+)Xét tứ giác AMHN, có:
MANˆ=ANPˆ=AMQˆ=90o
=> AMHN là hình chữ nhật
c)Xét tam giác SPR, có:
RH⊥SP (hình chữ nhật AMHN)
AP⊥RS
AP∩RH={Q}
=>Q là trực tâm của tam giác SPR
d)+)Có Q là trực tâm của tam giác SPR
=>SC⊥RP
hayQC⊥RC
=>Tam giác RQC vuông tại C
Mà MC là đương trung tuyến
=>MC=MQ
Mà AM=MQ
=>AM=MC(1)
+)Chưng minh tương tự với 2 tam giác APS và PSC
=>AN=NC(2)
Từ (1) và (2)=>MN là đường trung trực của AC
e)Có ABCD là hình vuông
=>AB=BC và AD=CD
=>BD là đương trung trực của AC
Mà AM là đường trung trực của AC (chứng minh câu d)
=>Bốn điểm B, M, D, N thẳng hàng