Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng tổng lập phương của n số nguyên dương đầu tiên là số chính phương Dùng phép chứng minh quy nạp ạ

Tháng Tám 4, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng tổng lập phương của n số nguyên dương đầu tiên là số chính phương
Dùng phép chứng minh quy nạp ạ

Comments ( 1 )

  1. hongocha12
    hongocha12
    4 Tháng Tám, 2022 at 11:02 chiều
    Reply
    Giải đáp:
     
    • Bước 1: Khi cố gắng để chứng minh một mệnh đề là đúng cho tập hợp các số tự nhiên, bước đầu tiên, được gọi là bước cơ sở, là chứng minh mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên đầu tiên.
    • Bước 2: Đây được gọi là bước quy nạp, là chứng minh rằng, nếu mệnh đề được giả định là đúng cho bất kỳ số tự nhiên nào đó, thế thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo. Sau khi chứng minh hai bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề là đúng cho tất cả các số tự nhiên. Trong thuật ngữ phổ biến, sử dụng phương pháp nói trên được gọi là sử dụng nguyên lý quy nạp toán học.
    Nguyên lý quy nạp toán học
    Mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề như vậy lại phụ thuộc vào một biến số tự nhiên n. Một cách tổng quát ta ký hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số tự nhiên. Như vậy, thực chất phương pháp quy nạp toán học là chứng minh dãy mệnh đề sau đúng hoặc sai:
    P(1), P(2), P(3),… P(n),…
    Phương pháp chứng minh
    Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗ bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện như sau:
    • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
    • Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp)
    • Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
    Chú ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n≥p (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:
    • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
    • Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp)
    • Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
    Một số dạng toán và cách giảiDạng 1: Chứng minh đẳng thức
    Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì 1+3+5+…+(2n–1)=n2  (1)
    Cách giải:
    Kiểm tra khi n = 1 mệnh đề (1) trở thành 1=12=1 (luôn đúng)
    Giả sử mệnh đề (1) đúng khi n=k≥1, tức là:
    Sk=1+3+5+…+(2k−1)=k2
    Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
    Sk+1=1+3+5+…+(2k−1)+2[2(k+1)−1]=(k+1)2
    Thật vậy, Sk+1=Sk+[2(k+1)–1]=k2+2k+1=(k+1)2
    Vậy mệnh đề (1) đúng với mọi n∈N∗
    Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
    Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 ta có: 2n+13n+2<12n+2+12n+3+12n+4+…+14n+2<3n+24(n+1)
    Cách giải:
    Đặt P=12n+2+12n+3+12n+4+…+14n+2
    Chứng minh P>2n+13n+2. Tổng P có 2n + 1 số hạng, ta ghép thành n cặp cách đều hai đầu, còn lại số hạng đứng giữa là 13n+2, mỗi cặp có dạng:
    13n+2−k+13n+2+k=2(3n+2)(3n+22–k2)>2(3n+2)(3n+2)2=23n+2
    (k=1,2,…,n−1,n)
    Do đó ta được:
    P>23n+2+13n+2=2n+13n+2
    Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần bổ đề sau:
    3m−2(m+k)(2m−2−k)<3m−2m(2m−2)⇔m(2m−2)<(m+k)(2m−2−k)
    (hinh anh 4)
    Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng minh.
    Viết lại biểu thức P và áp dụng bổ đề ta có:
    2P=(12n+2+14n+2)+(12n+3+14n+1)+…+(14n+2+12n+2)<(12n+2+14n+2)(2n+1)
    Hay P<12.3n+22(n+1)(2n+1).(2n+1)=3n+24(n+1)
    Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
    Dạng 3: Bài toán chia hết
    Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi n∈N∗ thì n3–n chia hết cho 3.
    Cách giải:
    Đặt An=n3–n
    Kiểm tra với n = 1, đúng khin=k≥1, tức là An=0⋮3 (đúng)
    Giả sử mệnh đề An đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh mệnh đề:
    Ak+1=(k+1)3–(k+1)⋮3
    Thật vậy : Ak+1=(k+1)3–(k+1)=k3+3k2+3k+1−k−1
    =(k3−k)+3(k2+k)=Ak+3(k2+k)⋮3
    Vậy n3–n⋮3∀n∈N∗
    Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phương pháp quy nạp toán học. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập  và nghiên cứu của bản thân về phương pháp quy nạp toán học. Chúc bạn luôn học tốt!

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Huyền Thư

About Huyền Thư