Toán Lớp 8: Cho hình bình hành `ABCD,` `AC` cắt `BD` tại `O.` Gọi `M,N,P,Q` là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác `AOB; BOC;COD; DOA`. Chứng minh

Question

Toán Lớp 8:  Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M,N,P,Q là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AOB; BOC;COD; DOA. Chứng minh tứgiác MNPQ là hình thoi.

thanhthuythu · Answer

V&igrave; $ABCD$ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh n&ecirc;n $AD//BC$   $ Rightarrow  widehat{OAD}= widehat{OCB}$ (hai g&oacute;c so le trong)   $ Rightarrow  dfrac{1}{2} widehat{OAD}= dfrac{1}{2} widehat{OCB}$   $ Rightarrow  widehat{OAQ}= widehat{OCN}$       C&oacute;: $ widehat{AOD}= widehat{COB}$ (hai g&oacute;c đối đỉnh)   $ Rightarrow  dfrac{1}{2} widehat{AOD}= dfrac{1}{2} widehat{COB}$   $ Rightarrow  widehat{AOQ}= widehat{CON}$   M&agrave; $ widehat{AOQ}+ widehat{COQ}=180{}^ circ $ (hai g&oacute;c kề b&ugrave;)   N&ecirc;n $ widehat{CON}+ widehat{COQ}=180{}^ circ $   Hay ba điểm $N,O,Q$ thẳng h&agrave;ng       X&eacute;t $ Delta AOQ$ v&agrave; $ Delta CON$, ta c&oacute;:   $ widehat{OAQ}= widehat{OCN} left( cmt  right)$   $ widehat{AOQ}= widehat{CON} left( cmt  right)$   $OA=OC$   $ Rightarrow  Delta AOQ= Delta CON left( g.c.g  right)$   $ Rightarrow OQ=ON$   M&agrave; ba điểm $N,O,Q$ thẳng h&agrave;ng   N&ecirc;n $O$ l&agrave; trung điểm $NQ$   CMTT: $O$ l&agrave; trung điểm $MP$   $ Rightarrow MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh   $ left( 1  right)$       C&oacute; $ widehat{AOD}+ widehat{AOB}=180{}^ circ $  (hai g&oacute;c bề b&ugrave;)   $ Rightarrow  dfrac{1}{2} widehat{AOD}+ dfrac{1}{2} widehat{AOB}=90{}^ circ $   $ Rightarrow  widehat{AOQ}+ widehat{AOM}=90{}^ circ $   $ Rightarrow  widehat{MOQ}=90{}^ circ $   $ Rightarrow MP bot NQ$ tại $O$   $ left( 2  right)$   Từ $ left( 1  right)$ v&agrave; $ left( 2  right)$$ Rightarrow MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh thoi