Toán Lớp 6: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng các số sau nguyên tố cùng nhau: a) n + 5 và n + 6 b) 4n + 1 và 6n + 1 c) 2n + 3 và 6n + 7

Question

Toán Lớp 6:  Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng các số sau nguyên tố cùng nhau:  a) n + 5 và n + 6  b) 4n + 1 và 6n + 1  c) 2n + 3 và 6n + 7

ngoclandiep · Answer

a) Gọi d l&agrave; ước chung của n+5 v&agrave; n+6   Ta c&oacute; : d  in ƯC(n+5,n+6)   =>n+5  vdots d v&agrave; n+6  vdots d   =>(n+6-n+5)  vdots d   =>1  vdots d   =>d  in {1}   Vậy n+5 v&agrave; n+6 v&agrave; số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau   b) Gọi ƯC(4n + 1,6n + 1) = d     =>4n+1  vdots d v&agrave; 6n+1  vdots d     =>3(4n+1)  vdots d v&agrave;  2(6n+1) vdots d     =>12n+3 vdots d v&agrave; 12n+2 vdots d     =>(12n+3-12n+2)  vdots d     =>1  vdots d     => d ={1}     Vậy 2n + 1 v&agrave; 6n + 5 l&agrave; 2 số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau    c)Gọi ƯC(2n+3,6n+7)=d        =>2n+3  vdots d v&agrave; 6n+7 vdots d     =>3(2n+3)  vdots d v&agrave; 6n+7  vdots d     =>6n+9  vdots d v&agrave; 6n+7 vdots d     =>(6n+9-6n+7)  vdots d     =>2  vdots d     =>d ={1,2}     V&igrave; 2n+3 ko chia hết cho 2     =>d=1     Vậy 2n+3 v&agrave; 6n + 7 l&agrave; 2 số nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau

doanthulan · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết: a, -Gọi ƯCLN(n+5;n+6) = d -Ta có: {(n+5 vdots d),(n+6 vdots d):} => (n+6)-(n+5) vdots d => 1 vdots d <=> d=1 => ƯCLN(n+5;n+6) = 1 => (n+5) và (n+6) nguyên tố cùng nhau. (đpcm) Vậy (n+5) và (n+6) nguyên tố cùng nhau. b, -Gọi ƯCLN(4n+1;6n+1) =d -Ta có: {(4n+1 vdots d),(6n+1 vdots d):} => {(6.(4n+1) vdots d),(4.(6n+1) vdots d):} => {(24n+6 vdots d),(24n+4 vdots d):} => (24n+6)-(24n+4) vdots d => 2 vdots d <=> d in Ư(2) = { 1; 2 } *** Nếu d=2 -Ta có: 4n là số chẵn => 4n+1 lẻ => 4n+1 cancelvdots 2 => d=2 (Loại) -Vậy d=1 => ƯCLN(4n+1; 6n+1)=1 => 4n+1 và 6n+1 nguyên tố cùng nhau. (đpcm) Vậy 4n+1 và 6n+1 nguyên tố cùng nhau. c, -Gọi ƯCLN(2n+3;6n+7) = d -Ta có: {(2n+3 vdots d),(6n+7 vdots d):} => {(3.(2n+3) vdots d),(6n+7 vdots d):} => {(6n+9vdost d),(6n+7 vdots d):} => (6n+9)-(6n+7) vdost d => 2vdots d => d in Ư(2) = { 1; 2} *** Nếu d=2 -Ta có: 2n chẵn => 2n+3 lẻ => 2n+3 cancelvdost 2 => d=2 ( Loại) -Vậy d=1 => ƯCLN(2n+3;6n+7) =1 => 2n+3 và 6n+7 nguyên tố cùng nhau. (đpcm) Vậy 2n+3 và 6n+7 nguyên tố cùng nhau.