Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng: 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + … + 1/97^2 <12/49

Tháng Mười 4, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng: 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + … + 1/97^2 <12/49

Comments ( 2 )

  1. tuminh25
    tuminh25
    4 Tháng Mười, 2022 at 2:14 sáng
    Reply
    ~ gửi bạn ~
    Giải đáp:
    đ.p.c.m 
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Mẫu các phân số ở vế trái có dạng tổng quát (2n + 1)^2 với n nguyên dương.
    Ta có:
    (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
    => (2n + 1)^2 > 4n^2 + 4n = 4n.(n + 1)
    => 1/{(2n + 1)^2} < 1/{4n.(n + 1)} = 1/4.(1/n – 1/{n + 1})
    Áp dụng kết quả trên, ta có:
    1/3^2 = 1/{(2.1 + 1)^2} < 1/4.(1/1  – 1/2)
    1/5^2 = 1/{(2.2 + 1)^2} < 1/4.(1/2 – 1/3)
    1/7^2 = 1/{(2.3 + 1)^2} < 1/4.(1/3 – 1/4)
    ……
    1/97^2 = 1/{(2 . 48 + 1)^2} < 1/4 . (1/48 – 1/49)
    => 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + … + 1/97^2 < 1/4.(1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + … + 1/48 – 1/49)
                                                                             = 1/4.(1 – 1/49) = 1/4 . 48/49 = 12/49
    => 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + … + 1/97^2 <12/49
     

  2. buianhtuan
    buianhtuan
    4 Tháng Mười, 2022 at 2:14 sáng
    Reply
    $\\$
    Ta có tính chất : $\dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$
    Ta sẽ chứng minh tính chất đó đúng :
    $⇔ \dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4n}-\dfrac{1}{4(n+1)}=\dfrac{n+1}{4n(n+1)}-\dfrac{n}{4n(n+1)}\\⇔\dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4n^2 + 4n}\\⇔4n^2+4n+1>4n^2+4n$ (Luôn đúng với $n\in N$)
    Vậy tính chất trên luôn đúng.
    Vận dụng vào bài ta được :
    $\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{(2.1+1)^2}<\dfrac{1}{4}(1 – \dfrac{1}{2})\\\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{(2.2+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})\\……\\\dfrac{1}{97^2}=\dfrac{1}{(2.48+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})$
    Cộng theo vế ta được :
    $\dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+…+\dfrac{1}{97^2}<\dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+…+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+…+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+…+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+…+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{12}{49}$
    Vậy ta có điều phải chứng minh.

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Dạ Nguyệt

About Dạ Nguyệt