Toán Lớp 8: Cho P = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + … + n(n + 1)(n + 2) với n nguyên dương. 1. Chứng minh rằng 4P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 2. Từ đó suy ra

Question

Toán Lớp 8:  Cho P = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + … + n(n + 1)(n + 2) với n nguyên dương. 1. Chứng minh rằng 4P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 2. Từ đó suy ra 4P + 1 là số chính phương

kimnguenoanh · Answer

N    =    1.2.3    +    2.3.4    +    .    .    .    +    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      N=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)            4    N    =    1.2.3.4    +    2.3.4.4    +    .    .    .    +    4    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      4N=1.2.3.4+2.3.4.4+...+4n(n+1)(n+2)            4    N    =    1.2.3.4    +    2.3.4.     (     5    &minus;    1     )     +    .    .    .    .    +    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      [      (     n    +    3     )     &minus;     (     n    &minus;    1     )      ]      4N=1.2.3.4+2.3.4.(5&minus;1)+....+n(n+1)(n+2)[(n+3)&minus;(n&minus;1)]            4    N    =    1.2.3.4    +    2.3.4.5    &minus;    1.2.3.4    +    .    .    .    +    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      (     n    +    3     )     &minus;     (     n    &minus;    1     )     n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      4N=1.2.3.4+2.3.4.5&minus;1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)&minus;(n&minus;1)n(n+1)(n+2)            4    N    =    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      (     n    +    3     )      4N=n(n+1)(n+2)(n+3)            4    N    +    1    =    n     (     n    +    1     )      (     n    +    2     )      (     n    +    3     )     +    1     4N+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1            =    n     (     n    +    3     )      (     n    +    1     )      (     n    +    2     )     +    1     =n(n+3)(n+1)(n+2)+1            =     (       n        mũ 2             +    3    n     )      (       n        mũ 2             +    2    n    +    n    +    2     )     +    1     =(n2+3n)(n2+2n+n+2)+1            =     (       n        mũ 2             +    3    n     )      (       n        mũ 2             +    3    n    +    2     )     +    1     =(n2+3n)(n2+3n+2)+1            =     (       n        mũ 2             +    3    n    +    1    &minus;    1     )      (       n        mũ 2             +    3    n    +    1    +    1     )     +    1     =(n2+3n+1&minus;1)(n2+3n+1+1)+1            =       (n mũ 2     +    3    n    +    1     )       2      &minus;    1    +    1    =       (      n     mũ 2         +    3    n    +    1     )       2      =      t      2       =(n2+3n+1)2&minus;1+1=(n2+3n+1)        mũ 2       =t        mũ 2          (1 số bất k&igrave; thỏa m&atilde;n)    Vậy         4    N    +    1     4N+1      l&agrave; số ch&iacute;nh phương (đpcm)

cattien · Answer

~ gửi bạn ~     Lời giải và giải thích chi tiết:     1)    Ta c&oacute;      4n.(n + 1).(n + 2)     = n.(n + 1).(n + 2).[(n + 3) - (n - 1)]      = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) - (n - 1).n.(n + 1).(n + 2) &Aacute;p dụng kết quả tr&ecirc;n ta được 4.1.2.3. = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 4.2.3.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4 4.3.4.5 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5 &hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip;&hellip; 4n.(n + 1).(n + 2) = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) - (n - 1).n.(n + 1).(n + 2)  => 4P = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) ----------------- 2)    Ta c&oacute;      4P = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) => 4P + 1 = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1   = (n^2 + 3n).(n^2 + 3n + 2) + 1 = (n^2 + 3n)^2 + 2.(n^2 + 3n) + 1      = (n^2 + 3n + 1)^2    Vậy 4P + 1 l&agrave; số ch&iacute;nh phương với mọi số nguy&ecirc;n dương n.