Toán Lớp 10: Cho hai số thực `x,y` thỏa mãn `x^2+y^2=1+xy`.Tìm GTLN của biểu thức `P=x^3y+y^3x+x^2y^2`

Question

Toán Lớp 10:  Cho hai số thực x,y thỏa mãn x^2+y^2=1+xy.Tìm GTLN của biểu thức P=x^3y+y^3x+x^2y^2

ngocbichchau · Answer

B&agrave;i n&agrave;y c&oacute; thể t&igrave;m min nữa. Nhưng đề b&agrave;i chỉ y&ecirc;u cầu t&igrave;m max n&ecirc;n chỉ cần l&agrave;m như thế n&agrave;y.   Với $xy<0$ th&igrave; $x^2+y^2=1+xy<0$ v&ocirc; l&yacute;. Vậy $0 le xy$   $ begin{array}{l} {x^2} + {y^2}  ge 2xy     Rightarrow 1 + xy  ge 2xy     Rightarrow xy  le 1   P = {x^3}y + {y^3}x + {x^2}{y^2}   P = xy left( {{x^2} + {y^2} + xy}  right)   P = xy left( {1+ 2xy}  right) = xy left( {1 + 2xy}  right)     le 1 left( {2 + 1}  right) = 3     Rightarrow  max P = 3   ' = '  Leftrightarrow  left {  begin{array}{l} x = y   {x^2} + {y^2} = 1 + xy  end{array}  right.  Rightarrow  left {  begin{array}{l} 2{x^2} = 1 + {x^2}   x = y  end{array}  right.     Rightarrow  left {  begin{array}{l} {x^2} = 1   x = y  end{array}  right.  Rightarrow  left {  begin{array}{l} x =   pm 1   x = y  end{array}  right.  Rightarrow  left( {x;y}  right) =  left( {1;1}  right), left( { - 1; - 1}  right)  end{array}$

kymmailien · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Từ GT $: x^{2} + y^{2} = 1 + xy (1)$

Ta có $: 1 + |xy| >= 1 + xy = x^{2} + y^{2} >= 2|xy|$

$ <=> 0 =< |xy| =< 1$

$ P = xy(x^{2} + y^{2} + xy) $

$ = xy(1 + xy + xy) = xy(1 + 2xy)$

$ =< |xy|(1 + 2|xy|) =< 1.(1 + 2.1) = 3$

$ => MaxP = 3 <=> xy = |xy| = 1 (2)$

$ (1); (2) <=> (x; y) = (-1;-1); (1; 1)$