Toán Lớp 8: Tìm tất cả số nguyên dương để 2^n+3^n+4n^n là số chính phương

Question

Toán Lớp 8:  Tìm tất cả số nguyên dương để 2^n+3^n+4n^n là số chính phương

bichhhathu · Answer

Với $n=1$ th&igrave;: $2n+3n+4n=2+3+4=9$  l&agrave; số ch&iacute;nh phương    Với $n&ge;2$ th&igrave;:  $2^n+4^n  vdots 4$       Đặt: $2n+3n+4n=t2$      &rArr;$t2$ lẻ     M&agrave; $t2:4 dư 1$ (do c&aacute;c số ch&iacute;nh phương lẻ chia $4$ đều dư $1$)     &rArr; $3n:4 dư 1      &rArr; $3n=${4+(-1)}$     Theo định luật nhị ph&acirc;n th&igrave; khi t&aacute;ch ${4+(-1)} c&oacute; được tất cả hạng tử đều chia hết cho $4$ trừ hạng tử $(-1)^n$ n&ecirc;n:      $3n=4k+(-1)     &rArr; $n=2k$ để cho $(-1)n=1$, hoặc $3n:4 dư 1$     Thay $n=2k$ th&igrave; ta được:      $t2=22k+32k+42k$     Vậy c&aacute;c số ch&iacute;nh phương kh&ocirc;ng chia hết cho $3$ khi chia $3$ dư $1$ n&ecirc;n:    $22k : 3 dư 1$    $42k : 3 dư 1$     Do vậy: $t2:3 dư 2$      &rArr; Số ch&iacute;nh phương chia $3$ dư $0$ hoặc dư $1$      &rArr; $t2$ kh&ocirc;ng phải l&agrave; số ch&iacute;nh phương     &rArr; $n=1$ v&agrave; $2n+3n+4n=9$ l&agrave; số ch&iacute;nh phương.

kimnguenoanh · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   Với n=1 th&igrave;: $2^n+3^n+4^n=2+3+4=9$ l&agrave; số ch&iacute;nh phương   Với n&ge;2 th&igrave;:  $2^n+4^n   ⋮  4$      Đặt $2^n+3^n+4^n=t^2$ => $t^2$ lẻ     m&agrave; $t^2$ chia 4 dư 1 (do c&aacute;c số ch&iacute;nh phương lẻ chia 4 đều dư 1)     => $3^n$ chia 4 dư 1     X&eacute;t $3^n=[4+(-1)]^n$     Theo định luật nhị ph&acirc;n th&igrave; khi t&aacute;ch  $[4+(-1)]^n$ ta được tất cả hạng tử đều chia hết cho 4 trừ hạng tử (-1)^n n&ecirc;n:      $3^n=4k+(-1)^n$     Do đ&oacute;: $n=2k$ để $(-1)^n = 1$ hay $3^n$ chia 4 dư 1     Thay $n=2k$ th&igrave; ta c&oacute;:      $t^2=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}$     C&aacute;c số ch&iacute;nh phương kh&ocirc;ng chia hết cho 3 khi chia 3 dư 1 n&ecirc;n:     $2^{2k}$ chia 3 dư 1     $4^{2k}$ chia 3 dư 1     Do đ&oacute;: $t^2$ chia 3 dư 2      m&agrave; c&aacute;c số ch&iacute;nh phương chia 3 dư 0 hoặc dư 1      N&ecirc;n $t^2$ kh&ocirc;ng l&agrave; số ch&iacute;nh phương     Vậy chỉ c&oacute; n=1 v&agrave; $2^n+3^n+4^n=9$ l&agrave; số ch&iacute;nh phương.     @Deawoo     Xin c&acirc;u trả lời hay nhất