Toán Lớp 8: cho tam giác ABC nhọn có AB< AC,các đường cao BD và CE cắt nhau tại H,I là trung điểm BC .Gọi K là điểm đối xứng với H qua I ,M đối xứng với H qua đương thẳng BC
a)Tứ giác BHCK,BCKM là hình gì
b)Gọi O là trung điểm của AK .Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
Leave a reply
Comments ( 2 )
Tứ giác BHCK có 2 đường chéo BC và HK
cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường
BHCK là hình bình hành.
Gọi F = HM ∩ BC
M đối xứng với H qua BC ⇒ BC là đường trung trực của HM
Lại có BHCK là hình bình hành ⇒ HC = BK (2)
Từ (1) và (2) BK = CM
ΔHMK có F là trung điểm của HM, I là trung điểm của HK
FI là đường trung bình
FI MK hay BC MK
Tứ giác BCKM là hình thang
Mà BK = CM
Tứ giác BCKM là hình thang cân.
b, BHCK là hình bình hành (câu a) BK CH, CK BH
Mà BH AC, CH AB BK AB, CK AC
ΔABK vuông tại B, ΔACK vuông tại C
Xét ΔABK vuông có BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
BO = OA = OK
Tương tự ta có ΔACK vuông có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
Suy ra: OA = OB = OC
a, K đối xứng với H qua I ⇒ I là trung điểm của KH
Tứ giác BHCK có 2 đường chéo BC và HK
cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường
⇒ BHCK là hình bình hành.
Gọi F = HM ∩ BC
M đối xứng với H qua BC ⇒ BC là đường trung trực của HM
⇒ F là trung điểm của HM và HC = CM (1)
Lại có BHCK là hình bình hành ⇒ HC = BK (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BK = CM
ΔHMK có F là trung điểm của HM, I là trung điểm của HK
⇒ FI là đường trung bình
⇒ FI ║ MK hay BC ║ MK
⇒ Tứ giác BCKM là hình thang
Mà BK = CM (cmt)
⇒ Tứ giác BCKM là hình thang cân.
b, BHCK là hình bình hành (câu a) ⇒ BK ║ CH, CK ║ BH
Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ BK ⊥ AB, CK ⊥ AC
⇒ ΔABK vuông tại B, ΔACK vuông tại C
Xét ΔABK vuông có BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
⇒ BO = OA = OK
Tương tự ta có ΔACK vuông có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
⇒ CO = OA = OK
Suy ra: OA = OB = OC
⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (đpcm)
Hình minh họa