Toán Lớp 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phường trình `x + y + z = xyz`

Question

Toán Lớp 8:  Tìm nghiệm nguyên dương của phường trình x + y + z = xyz

ngoclankhue · Answer

$ $ Không mất tính tổng quát giả sử 1 le x le y le z <=>x^2 le yz, x^2 le xz, x^2 le xy <=> 1/x^2 ge 1/(yz) , 1/x^2 ge 1/(xz), 1/x^2 ge 1/(xy) <=> 1/x^2+1/x^2+1/x^2 ge 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy) <=>3/x^2 ge 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy) Do x,y,z nguyên dương nên xyz > 0 Chia cả 2 vế x+y+z=xyz cho xyz ta được : (x+y+z)/(xyz)=1 <=> 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1 <=> 3/x^2 ge 1 <=> 3 ge x^2 Mà 1 le x <=>1^2 le x^2 <=>1^2 le x^2 le 3 <=> 1 le x^2 le 3 <=>x^2 in {1;2;3} Chọn x^2=1 <=>x=1 Do đó : y+z+1=yz (Do x=1) <=> y+z+1-yz=0 <=> (y-1) + z (1-y) + 2=0 <=> - (1-y) +z(1-y)+2=0 <=> (1-y)(z-1)=-2 <=> (y-1)(z-1)=2=1.2=2.1 TH1 : y-1=1, z-1=2 <=> y=2,z=3 TH2 : y-1=2, z-1=1 <=> y=3,z=2 Vậy cặp (x;y) nguyên dương thỏa mãn pt là : (x;y;z)=(1;2;3), (1;3;2)

haiyemy · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: Không mất tính tổng quát, giả sử 1<=x<=y<=z Vì x;y;z nguyên dương nên: (x+y+z)/(xyz)=(xyz)/(xyz) <=> x/(xyz)+y/(xyz)+z/(xyz)=1 <=> 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1 Lại có: x<=y<=z <=> x^2<=yz;x^2<=xz;x^2<=xy Suy ra: 1/x^2+1/x^2+1/x^2 >=1 <=> 3/x^2 >=1 <=> x^2<=3 Mà x nguyên dương <=> x>=1 <=> x^2>=1 Mà x^2<=3 => x^2=1 <=> x=1 Thay vào phương trình x+y+z=xyz <=> 1+y+z=yz <=> yz-y-z+1=1+1 <=> y(z-1)-(z-1)=2 <=> (y-1)(z-1)=2 Mà y;z nguyên dương => {(y>=1),(z>=1):} <=> {(y-1>=0),(z-1>=0):} Mà 2=1.2=2.1 Nên ta có 2 trường hợp sau: TH1 : {(y-1=1),(z-1=2):} <=> {(y=2),(z=3):} TH2 : {(y-1=2),(z-1=1):} <=> {(y=3),(z=2):} Vậy (x;y;z)=(1;2;3) và các hoán vị của chúng.