Toán Lớp 8: Cho hình chữ nhật `ABCD` . điểm P thuộc đường chéo `BD` . Gọi `M` là điểm đối xứng của `C` qua `P . ( P khác B, D)` `a,` CMR : `AM ////

Question

Toán Lớp 8:  Cho hình chữ nhật ABCD . điểm P thuộc đường chéo BD . Gọi M là điểm đối xứng của C qua P . ( P khác B, D) a, CMR : AM //// BD b, Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB / CMR  : 3 điểm E , F , P thẳng hàng  c, CM : tỉ số của độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của P

buithaianh98 · Answer

$ $ a, Gọi O là giao của BD,AC ABCD là hình chữ nhật <=>O là trung điểm của BD,AC và BD=AC M đối xứng C qua P (gt) tức P là trung điểm của CM triangle AMC có : P,O là trung điểm của CM,AC (cmt) =>PO là đường trung bình => $PO//AM$ hay $AM//BD$ b, Gọi H là giao của AM,EF Khá dễ dàng chứng minh được AFME là hình chữ nhật <=>H là trung điểm của AM,EF và AM=EF AH=1/2 AM, HE=1/2 EF mà AM=EF (cmt) =>AH=HE => triangle AHE cân tại H =>hat{AEF}=hat{MAD} (1) AO=1/2 AC, OD=1/2 BD mà AC=BD (cmt) =>AO=DO => triangle AOD cân tại O =>hat{ODA}=hat{OAD} (2) (1)(2) =>hat{AEF}=hat{OAD} (Do hat{MAD}=hat{ODA} vì $AM//BD$) => $EF//AC$ (*) triangle MAC có : H,P là trung điểm của AM, CM (cmt) =>HP là đường trung tuyến => $HP//AC$ (**) (*)(**) =>E,F,H,P thẳng hàng =>E,F,P thẳng hàng c, AFME là hình chữ nhật =>hat{AFM}=90^o và $MF//AE$ ABCD là hình chữ nhật =>hat{BAD}=90^o hat{AMF}=hat{MAE} (Do $MF//AE$) Mà hat{MAE}=hat{BDA} (Do $AM//BD$) =>hat{AMF}=hat{BDA} triangle AMF và triangle BDA có : hat{AFM}=hat{BAD}=90^o hat{AMF}=hat{BDA} (cmt) => triangle AMF đồng dạng với triangle BDA (g.g) => (MF)/(AF)=(AD)/(AB) Ta thấy (AD)/(AB) luôn cố định hay luôn không đổi =>(MF)/(AF) luôn không đổi =>(MF)/(AF) không phụ thuộc vào P