Toán Lớp 9: 60 điểm vote 5 sao !!!!!!!!! cứuuuuuuuuu
a^2+b^2+c^2=1 CMR a^3/a+b + b^3/b+c + c^3/c+a >= 1/2
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 9: 60 điểm vote 5 sao !!!!!!!!! cứuuuuuuuuu
a^2+b^2+c^2=1 CMR a^3/a+b + b^3/b+c + c^3/c+a >= 1/2
Comments ( 2 )
Giải đáp + giải thích các bước giải:
(a^3)/(a+b)+b^3/(b+c)+c^3/(c+a)
=(a^4)/(a^2+ab)+b^4/(b^2+bc)+c^4/(c^2+ca)
>=(a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) (BDT cộng mẫu)
=1/(1+ab+bc+ca)
>=1/(1+a^2+b^2+c^2) (BDT a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca)
=1/(1+1)
=1/2
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/\sqrt{3}
Bổ sung đề bài: a; b; c > 0
Ta có:
a^3/(a + b) + b^3/(b + c) + c^3/(c + a)
= a^4/[a(a + b)] + b^4/[b(b + c)] + c^4/[c(c + a)]
Áp dụng BĐT $\text{Svacxơ (BĐT cộng mẫu)}$, ta có:
a^4/[a(a + b)] + b^4/[b(b + c)] + c^4/[c(c + a)] ≥ $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a(a + b) + b(b + c) + c(c + a)}$ = $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac}$
Ta luôn có BĐT ab + bc + ac ≤ a^2 + b^2 + c^2 ∀ a; b; c
⇒ a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac ≤ 2(a^2 + b^2 + c^2)
⇔ $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a(a + b) + b(b + c) + c(c + a)}$ = $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac}$ ≥ $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2(a^2 + b^2 + c^2)}$ = 1^2/(2.1) = 1/2
Dấu $$$=”$ xảy ra khi: a = b = c = $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$