Toán Lớp 8: Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x – 3 dư 7, f(x) chia cho x – 2 dư 5, f(x) chia cho x^2–5x+6 được thương là 3x mà còn dư.

Question

Toán Lớp 8:  Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x – 3 dư 7, f(x) chia cho x – 2 dư 5, f(x) chia cho x^2–5x+6 được thương là 3x mà còn dư.

kimnguenoanh · Answer

Giả sử f(x) chia cho x^2 - 5x + 6 được thương là 3x và đa thức dư là ax +b (do đa thức chia có bậc là 2) Khi đó ta có : f(x) = (x^2 - 5x + 6) . 3x + ax + b Theo định lí Bézout ta có : +) f(x) chia cho x-3 dư 7 nên f(3) = 7 => (3^2 - 5 . 3 + 6) . 3 . 3 + a . 3 + b = 7 => 3a + b = 7 (1) Tương tự ta cũng có, theo định lí Bézout thì f(x) chia cho x-2 dư 5 nên f(2) = 5 => (2^2 - 5 . 2 + 6) . 3 . 2 + a . 2 + b = 5 => 2a + b = 5 (2) Từ (1) và (2) ta có : $ begin{cases} 3a + b = 7 2a + b = 5 end{cases}$ <=> $ begin{cases} (3a +b) - (2a+b) = 7-5 2a + b = 5 end{cases}$ <=> $ begin{cases} a = 2 2.2+ b = 5 end{cases}$ <=> $ begin{cases} a = 2 b = 1 end{cases}$ Khi đó f(x) = (x^2 - 5x + 6) . 3x + 2x + 1 = 3x^3 - 15x^2 + 18x + 2x + 1 = 3x^3 - 15x^2 + 20x + 1