Toán Lớp 9: giả sử $x_{1}$ ,$x_{2}$ là nghiệm của phương trình x ²-6.x+1=0 tìm số dư của $S_{n}$ = $x_{1}^{n}$ +$x_{2}^{n}$ chia cho 5

Question

Toán Lớp 9:  giả sử $x_{1}$ ,$x_{2}$  là nghiệm của phương trình x ²-6.x+1=0 tìm số dư của $S_{n}$ = $x_{1}^{n}$ +$x_{2}^{n}$ chia cho 5

dantam45 · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute; $x_1,x_2$ l&agrave; nghiệm của phương tr&igrave;nh   $ to  begin{cases}x_1+x_2=6  x_1x_2=1 end{cases}$   $ to S_0=x_1^0+x_2^0=2 in Z$         $S_1=x_1^1+x_2^1=6 in Z$         $S_2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=34 in Z$   $ to S_2=6S_1-S_0$   Giả sử $S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k$   Ta sẽ chứng minh $S_{k+3}=6S_{k+2}-S_{k+1}$   Thật vậy ta c&oacute;:   $S_{k+3}= x_1^{k+3}+x_2^{k+3}$   $ to S_{k+3}= (x_1^{k+2}+x_2^{k+2})(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1^{k+1}+x_2^{k+1})$   $ to S_{k+3}= S_{k+2} cdot 6-1 cdot S_{k+1}$   $ to S_{k+3}= 6S_{k+2}-S_{k+1}$   $ to S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k$ đ&uacute;ng   Ta c&oacute;: $S_0, S_1 , S_2 in Z$   Giả sử $n=k to S_k in Z$   Ta chứng minh $n=k+1 to S_{k+1} in Z$   Thật vậy do $n=k$ đ&uacute;ng   $ to S_{k}, S_{k-1} in Z$   M&agrave; $S_{k+1}=6S_k-S_{k-1} in Z$   $ to S_k in Z,  forall k in N$   Ta c&oacute;:   $S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k=6(6S_k-S_{k-1})-S_k=35S_k-5S_{k-1}-S_{k-1}=5(7S_k-S_{k-1})-S_{k-1}$   $ to S_{k+2} equiv -S_{k-1} (mod 5)(*)$   Ta c&oacute; $S_0 equiv 2(mod 5)$            $S_1 equiv 1(mod 5)$            $S_2 equiv 4(mod 5)$   Từ $(*)$ Suy ra:            $S_3 equiv -2(mod 5)$            $S_4 equiv -1(mod 5)$            $S_5 equiv -4(mod 5)$   Suy ra:            $S_6 equiv 2(mod 5)$            $S_7 equiv 1(mod 5)$            $S_8 equiv 4(mod 5)$   ......   $ to S_{3k} equiv (-1)^{3k} cdot 2(mod 5)$ hay với $n$ chia hết cho $3 to S_n$ chia $5$ dư $2$         $S_{3k+1} equiv (-1)^{3k+1} cdot 1(mod 5)$ hay với $n$ chia $3$ dư $1 to S_n$ chia $5$ dư $1$         $S_{3k+2} equiv(-1)^{3k+2} cdot 4(mod 5)$ hay với $n$ chia $3$ dư $2 to S_n$ chia $5$ dư $4$