Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có MNI lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC. Gọi D là điểm đối xứng của I qua M.
a)Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. Để AMIN là hình vuông thì phải có thêm điều kiện gì?
b)Tứ giác ADBI là hình gì?Vì sao?
c)Chứng minh diện tích của tam giác AMN bằng 1/4 diện tích tam giác ABC
Leave a reply
Comments ( 1 )
Giải đáp:
a)
Tứ giác AMIN là hình chữ nhật
Để AMIN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
b) Tứ giác ADBI là hình thoi
c) $S_{\triangle AMN}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}$
Lời giải và giải thích chi tiết:
a)
Xét $\triangle ABC$:
M là trung điểm của AB (gt)
I là trung điểm của AC (gt)
$\to$ MI là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to MI//AC, MI=\dfrac{1}{2}AC$
Mà $AB\bot AC$ (gt)
$\to MI\bot AB$
Chứng minh tương tự
$\to NI//AB, NI=\dfrac{1}{2}AB$
$\to NI\bot AC$
Xét tứ giác AMIN:
$\widehat{MAN}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AMI}=90^o\,\,\,(MI\bot AB)\\\widehat{ANI}=90^o\,\,\,(NI\bot AC)$
$\to$ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
Để tứ giác AMIN là hình vuông
$\to AM=AN\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$
$\to\triangle ABC$ cân tại A
$\to$ Để AMIN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
b)
Xét tứ giác ADBI:
M là trung điểm AB (gt)
M là trung điểm của DI (gt)
$\to$ Tứ giác ADBI là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mà $DI\bot AB\,\,\,(MI\bot AB)$
$\to$ Tứ giác ADBI là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau)
c)
$\triangle ABC$ vuông tại A
$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC$
$\triangle MAN$ vuông tại A
$\to S_{\triangle MAN}=\dfrac{1}{2}.AM.AN$
Mà $AM=\dfrac{1}{2}AB, AN=\dfrac{1}{2}AC$
$\to S_{\triangle MAN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AC\\\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.AB.AC\\\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}$