Toán Lớp 9: Cho ΔABC có AB=AC và trực tâm H. Biết AH=7, BH=2. Tính đường cao AD

Question

Toán Lớp 9:  Cho  ΔABC có AB=AC và trực tâm H. Biết AH=7, BH=2. Tính đường cao AD

tongtung · Answer

Giải đáp:   $AD =  dfrac{15}{2}$   Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute;: $ triangle ABC$ c&acirc;n tại $A$   $AD$ l&agrave; đường cao   $ Rightarrow AD$ l&agrave; trung tuyến   $ Rightarrow DB = DC =  dfrac12BC$   Gọi $E$ l&agrave; giao điểm của $BH$ v&agrave; $AC$   $ Rightarrow BE perp AC$   X&eacute;t $ triangle AHE$ v&agrave; $ triangle BHD$ c&oacute;:   $ begin{cases} widehat{AHE} =  widehat{BHD} quad  text{(đối đỉnh)}   widehat{E} =  widehat{D} = 90^ circ end{cases}$   Do đ&oacute; $ triangle AHE backsim  triangle BHD  (g.g)$   $ Rightarrow  dfrac{AH}{BH} =  dfrac{HE}{HD} =  dfrac72$   Đặt $HE = 7x;  HD = 2x quad (x>0)$   $ Rightarrow  begin{cases}DB =  sqrt{BH^2 - HD^2} =  sqrt{4 - 4x^2}  BE = BH + HE = 2 + 7x end{cases}$   X&eacute;t $ triangle BHD$ v&agrave; $ triangle BCE$ c&oacute;:   $ begin{cases} widehat{B}:   text{g&oacute;c chung}   widehat{D} =  widehat{E} = 90^ circ end{cases}$   Do đ&oacute; $ triangle BHD backsim  triangle BCE  (g.g)$   $ Rightarrow  dfrac{BH}{BC} =  dfrac{BD}{BE}$   $ Leftrightarrow BH.BE = BC.BD = 2BD^2$   $ Leftrightarrow 2(2 + 7x) = 2(4 - 4x^2)$   $ Leftrightarrow 4x^2 + 7x -2= 0$   $ Leftrightarrow (4x -1)(x+2) = 0$   $ Leftrightarrow  left[ begin{array}{l}x = -2 quad (l)  x =  dfrac14 quad (n) end{array} right.$   $ Rightarrow HD =  dfrac12$   $ Rightarrow AD = AH + HD = 7 +  dfrac12 =  dfrac{15}{2}$   Vậy $AD =  dfrac{15}{2}$