Toán Lớp 9: Cho pt: x^2-2(m+1)x+4m-m^2=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức T=|x1-x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

Question

Toán Lớp 9:  Cho pt: x^2-2(m+1)x+4m-m^2=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức T=|x1-x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

tuyetanhthu · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   pt: $x^2-2(m+1)x+4m-m^2=0$   Để phương tr&igrave;nh c&oacute; hai nghiệm ph&acirc;n biệt $x_1,x_2$ th&igrave;  $&Delta;'>0$:   $&hArr;&Delta;'=b'^2-ac=(m+1)^2-(4m-m^2)=2m^2-2m+1=m^2+(m-1)^2$   $&rArr;&Delta;'>0&hArr;m^2+(m-1)^2&hArr;m>1$   Biểu thức: $T=|x_1-x_2|$   $&hArr;T^2=(x_1-x_2)^2$   $&hArr;(x_1+x_2)^2-4.x_1.x_2$   Theo hệ thức Vi-&eacute;t:   $ left  { {{x_1+x_2= frac{-b}{a}=2m+2}  atop {x_1.x_2= frac{c}{a}=4m-m^2}}  right.$    Thay v&agrave;o biểu thức:   $&rArr;(2m+2)^2-4.(4m-m^2)=8m^2-8m+4=8.(m^2-m+ frac{1}{2})=8.[(m- frac{1}{2})^2+ frac{1}{4})$    V&igrave;: $(m- frac{1}{2})^2&ge;0$                                      $&forall;m$   $&rArr;(m- frac{1}{2})^2+ frac{1}{4}&ge; frac{1}{4}$          $&forall;m$   $&rArr;8.[(m- frac{1}{2})^2+ frac{1}{4}) &ge; 2$                 $&forall;m$   $&rArr;T&ge;&radic;2$   Vậy gi&aacute; trị nhỏ nhất của biểu thức l&agrave; $&radic;2$   Dấu bằng xảy ra khi: $m= frac{1}{2}$

diepbich93 · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: PT có 2 nghiệm phân biệt <=>Delta'>0 <=>(m+1)^2-(4m-m^2)>0 <=>m^2+2m+1-4m+m^2>0 <=>2m^2-2m+1>0 <=>2(m-1/2)^2+1/2>0 luôn đúng Áp dụng hệ thức vi-ét ta có:x_1+x_2=2m+2,x_1.x_2=4m-m^2 T=|x_1-x_2| <=>T^2=(x_1-x_2)^2 <=>T^2=x_1^2+2x_1.x_2+x_2^2-4x_1.x_2 <=>T^2=(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2 <=>T^2=4(m+1)^2-4(4m-m^2) <=>T^2=4m^2+8m+4-16m+4m^2 <=>T^2=8m^2-8m+4=2(4m^2-4m+1)+2 <=>T^2=2(2m-1)^2+2>=2 =>T>=sqrt2 Dấu '=' xảy ra khi m=1/2