Toán Lớp 8: Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,G,H,I,K lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,AD,BD,AC. cmr EG,FH,IK đồng quy

Question

Toán Lớp 8:  Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,G,H,I,K lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,AD,BD,AC. cmr EG,FH,IK đồng quy

hoquyly · Answer

Gọi O l&agrave; giao điểm của HF v&agrave; EG   X&eacute;t &Delta;ABD c&oacute;:   AH=DH(gt)   AE=BE(gt)   &rArr;HE l&agrave; đường trung b&igrave;nh của &Delta;ABD   &rArr;text{HE//BD} v&agrave; HE=1/2BD( t&iacute;nh chất đường trung b&igrave;nh của &Delta;)(1)   X&eacute;t &Delta;BCD c&oacute;:   CG=DG(gt)   CF=BF(gt)   &rArr;GF l&agrave; đường trung b&igrave;nh của &Delta;BCD   &rArr;text{GF//BD} v&agrave; GF=1/2BD( t&iacute;nh chất đường trung b&igrave;nh của &Delta;)(2)   Từ (1) v&agrave; (2)&rArr;text{HE//GF} v&agrave; HE=GF   X&eacute;t tứ gi&aacute;c HEFG c&oacute;:       text{HE//GF(cmt)       HE=GF(cmt)   &rArr; tứ gi&aacute;c HEFG l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh ( tứ gi&aacute;c c&oacute; 2 cạnh đối song song v&agrave; bằng nhau l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh )   &rArr;O l&agrave; trung điểm của 2 đường ch&eacute;o EG v&agrave; FH( t&iacute;nh chất h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh )(3)   X&eacute;t &Delta;ABD c&oacute;:   DH=AH(gt)   DI=BI(gt)   &rArr;HI l&agrave; đường trung b&igrave;nh của &Delta;ABD   &rArr;text{HI//AB} v&agrave; HI=1/2AB( t&iacute;nh chất đường trung b&igrave;nh của &Delta;)(4)   X&eacute;t &Delta;ABC c&oacute;:   CK=AK(gt)   CF=BF(gt)   &rArr;KF l&agrave; đường trung b&igrave;nh của &Delta;ABC   &rArr;text{KF//AB} v&agrave; KF=1/2AB( t&iacute;nh chất đường trung b&igrave;nh của &Delta;)(5)   Từ (4) v&agrave; (5)&rArr;text{HI//KF} v&agrave; HI=KF   X&eacute;t tứ gi&aacute;c HIFK c&oacute;:        text{HI//KF(cmt)}        HI=KF(cmt)   &rArr; tứ gi&aacute;c HIFK l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh ( tứ gi&aacute;c c&oacute; 2 cạnh đối song song v&agrave; bằng nhau l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh )   &rArr;O l&agrave; trung điểm của 2 đường ch&eacute;o IK v&agrave; FH( t&iacute;nh chất h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh )(6)   Từ (3) v&agrave; (6)&rArr;EG,FH,IK đồng quy tại điểm O(đpcm)