Toán Lớp 8: Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: AE = EB, AF = FC.
c) Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh rằng M đối xứng với N qua
Leave a reply
Comments ( 1 )
Giải đáp:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật
b) $AE=EB, AF=FC$
c)
Tứ giác ADBM là hình thoi
Tứ giác ADCN là hình thoi
d) M đối xứng với N qua A
Lời giải và giải thích chi tiết:
a)
M đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB (gt)
$\to$ E là trung điểm của DM, $DM\bot AB$ tại E (tính chất đối xứng qua đường thẳng)
Chứng minh tương tự
$\to$ F là trung điểm của DN, $DN\bot AC$ tại F
Xét tứ giác AEDF:
$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$
$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
b)
Xét $\triangle ABC$:
$DE//AC\,\,\,(\bot AB)$
D là trung điểm của BC (gt)
$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to$ E là trung điểm của AB
$\to AE=EB$
Chứng minh tương tự $\to AF=FC$
c)
Xét tứ giác ADBM:
E là trung điểm của AB (cmt)
E là trung điểm của DM (cmt)
$\to$ Tứ giác ADBM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà $DM\bot AB$ (cmt)
$\to$ Tứ giác ADBM là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
Chứng minh tương tự
$\to$ Tứ giác ADCN là hình thoi
d)
Tứ giác ADBM là hình thoi (cmt)
$\to AM//BD\to AM//BC\,\,\,(1), AM=DB=\dfrac{1}{2}BC\,\,\,(2)$
Chứng minh tương tự
$\to AN//CD\to AN//BC\,\,\,(3), AN=DC=\dfrac{1}{2}BC\,\,\,(4)$
Từ (1), (3)
$\to$ M, A, N thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)
Từ (2), (4)
$\to AM=AN$
$\to$ A là trung điểm của MN
$\to$ M đối xứng với N qua A