Toán Lớp 8: Bài 2(2đ): Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, CF cắt nhau tại O. a)Chứng minh AO là trung trực BC. (0,5)b)Chứng minh tứ giác BFE

Question

Toán Lớp 8:  Bài 2(2đ): Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, CF cắt nhau tại O. a)Chứng minh AO là trung trực BC. (0,5)b)Chứng minh tứ giác BFEC là hình thang cân .(0,5)c)Gọi D là giao điểm AO với BC. Kẻ DM//AB( M thuộc CF), DN // AC(N thuộc BE) . Chứng minh tam giác DMN cân tại D. (0,5)d)Chứng minh MN đi qua trung điểm BF và CE. (0,5

cobexinhdep · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   $a) Delta ABC$, đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $O$   $ Rightarrow O$ l&agrave; trực t&acirc;m $ Delta ABC$   $ Rightarrow AO  perp BC$   M&agrave; $ Delta ABC$ c&acirc;n tại $A$   $ Rightarrow AO$ đồng thời l&agrave; đường cao, ph&acirc;n gi&aacute;c, trung tuyến, trung trực    $b) Delta ABC$ c&acirc;n tại $A$   $ Rightarrow  widehat{FBC}= widehat{ECB}$   X&eacute;t $ Delta FBC$ v&agrave; $ Delta ECB$   $BC$: chung   $ widehat{FBC}= widehat{ECB}    widehat{BFC}= widehat{CEB}=90^ circ    Rightarrow  Delta FBC =  Delta ECB    Rightarrow FB=EC(1)$   M&agrave; $AB=AC$   $ Rightarrow AF=AE$   $ Rightarrow  Delta AFE$ c&acirc;n tại $A$   $ Rightarrow  widehat{AFE}= dfrac{180^ circ- widehat{FAE}}{2}= dfrac{180^ circ- widehat{BAC}}{2}$   $ Delta ABC$ c&acirc;n tại $A$   $ Rightarrow  widehat{ABC}= dfrac{180^ circ- widehat{BAC}}{2}    Rightarrow  widehat{AFE}= widehat{ABC}    Rightarrow EF//BC(2)$   $(1)(2)  Rightarrow BFEC$ l&agrave; h&igrave;nh thang c&acirc;n   $c)DM//AB   CF  perp AB    Rightarrow DM  perp CF$   Tương tự $DN  perp BE$   $ Delta FBC =  Delta ECB    Rightarrow  widehat{C_1}= widehat{B_1}$   M&agrave; $ widehat{B_1}+ widehat{O_1}=90^ circ$   $ widehat{C_1}+ widehat{O_2}=90^ circ    Rightarrow  widehat{O_1}= widehat{O_2}$   X&eacute;t $ Delta OMD$ v&agrave; $ Delta OND$   $OD:$ chung   $ widehat{OMD}= widehat{OND}=90^ circ    widehat{O_1}= widehat{O_2}    Rightarrow   Delta OMD =  Delta OND    Rightarrow  MD =ND$   $ Rightarrow   Delta MND$ c&acirc;n tại $D$   $d) Delta BEC$ vu&ocirc;ng tại $E$, trung tuyến $ED$ bằng nửa cạnh huyền $BC$   $ Rightarrow ED=BD$   $ Rightarrow  Delta EBD$ c&acirc;n tại $D$   C&oacute; $DN$ l&agrave; đường cao   $ Rightarrow DN$ cũng l&agrave; trung tuyến   $ Rightarrow N$ l&agrave; trung điểm $BE$   Chứng minh tương tự, $M$ l&agrave; trung điểm $CF$   $ Delta OMD =  Delta OND    Rightarrow  OM=ON; MD=ND$   $ Rightarrow OD$ l&agrave; trung trực $MN$   $ Rightarrow OD  perp MN    Leftrightarrow AD  perp MN$   M&agrave; $AD  perp BC$   $ Rightarrow MN//BC$   $ Delta BEC, N$ l&agrave; trung điểm $BE, MN//BC$   $ Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $EC$   Chứng minh tương tự $ Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $BF.$