Toán Lớp 9: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 8cm. Vẽ góc BAx = 60 độ sao cho tia Ax cắt nửa đường tròn (O) tại C.
a/ Tính AB, AC
b) Tại C, vẽ tiếp tuyến d của nửa đường tròn (O). Kẻ BD và AE lần lượt vuông góc với d ( ) , D E thuộc d Chứng minh DE = BC.
c) Tính diện tích tứ giác AEDB
d/ Gọi K là giao điểm của EB và AC. Chứng minh : 1/AK = 1/AE + 1/AB
Leave a reply
Comments ( 1 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$
Mà $\hat A=60^o$
$\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $AB=8$
$\to AC=\dfrac12AB=4, BC=AC\sqrt3=4\sqrt3$
b.Ta có $DC$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to \widehat{DCB}=\widehat{CAB}=60^o$
Mà $BD\perp CD\to \Delta BCD$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$
$\to BC=2CD$
Ta có $OC\perp DE$ vì $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to AE//OC//BD$
Mà $O$ là trung điểm $AB$
$\to OC$ là đường trung bình hình thang $ABDE$
$\to C$ là trung điểm $DE$
$\to DE=2CD=BC$
c. Ta có: $DE=BC=4\sqrt3, \widehat{EAC}=\widehat{ACO}=\widehat{OAC}=60^o$
Mà $AE\perp CE\to \Delta ACE$ là nửa tam giác đều cạnh $AC$
Ta có: $OC$ là đường trung bình hình thang $ABDE\to \dfrac{AE+BD}{2}=OC=4$
Vì $AE\perp DE, BD\perp DE\to ABDE$ là hình thang vuông tại $D, E$
$\to S_{ABDE}=\dfrac12DE\cdot (AE+BD)=DE\cdot \dfrac{AE+BD}{2}=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$
d.Gọi $BD\cap AC=F$
Ta có: $\widehat{CBF}=\widehat{CBD}=90^o-\widehat{DCB}=30^o=90^o-\widehat{CAB}=\widehat{CBA}$
$\to BC$ là phân giác $\widehat{ABF}$
Mà $BC\perp AC\to BC\perp AF$
$\to \Delta BAF$ cân tại $B$
Do $\hat A=60^o\to\Delta ABF$ đều
$\to AF=AB=BF$
Ta có: $AE//BD(\perp DE)$
$\to \dfrac{AK}{KF}=\dfrac{AE}{BF}$
$\to \dfrac{AK}{AK+KF}=\dfrac{AE}{AE+BF}$
$\to \dfrac{AK}{AF}=\dfrac{\dfrac12AC}{\dfrac12AC+AB}$
$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{\dfrac12\cdot \dfrac12AB}{\dfrac12\cdot \dfrac12AB+AB}$
$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{\dfrac14AB}{\dfrac54AB}$
$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac15$
$\to AK=\dfrac15AB$
$\to\dfrac{AB}{AK}=5$
Ta có $AE=\dfrac12AC=\dfrac12\cdot \dfrac12AB=\dfrac14AB$
$\to \dfrac{AB}{AE}=4$
Vì $5=1+4$
$\to \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AB}{AB}+\dfrac{AB}{AE}$
$\to \dfrac1{AK}=\dfrac1{AB}+\dfrac1{AE}$
$\to đpcm$