Toán Lớp 7: cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mảng:a,b nguyên tố cùng nhau và ab+c ² chia hết ac chứng minh a là số nguyên tố

Question

Toán Lớp 7:  cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mảng:a,b nguyên tố cùng nhau và ab+c ² chia hết ac chứng minh a là    số nguyên tố

ngoclankhue · Answer

Giả sử         a      2      +    1     a2+1    v&agrave;         b      2      +    1     b2+1    c&ugrave;ng chia hết cho số nguy&ecirc;n tố p         &rArr;      a      2      &minus;      b      2        ⋮      p     &rArr;a2&minus;b2⋮p            &rArr;     (     a    &minus;    b     )      (     a    +    b     )       ⋮      p    &rArr;      ⎡           a    &minus;    b      ⋮      p          a    +    b      ⋮      p              &rArr;      +) Nếu         a    &minus;    b      ⋮      p     a&minus;b⋮p      th&igrave; ta c&oacute;        (       a      2      +    1     )      (       b      2      +    1     )     &minus;       (     a    &minus;    b     )       2        ⋮      p    &rArr;       (     a    b    +    1     )       2        ⋮      p    &rArr;    a    b    +    1      ⋮      p     (a2+1)(b2+1)&minus;(a&minus;b)2⋮p&rArr;(ab+1)2⋮p&rArr;ab+1⋮p    (v&ocirc; l&iacute; do (a - b, ab + 1) = 1)   +) Nếu       a    +    b      ⋮      p     a+b⋮p    th&igrave; tương tự ta c&oacute;       a    b    &minus;    1      ⋮      p     ab&minus;1⋮p   . (v&ocirc; l&iacute;)   Do đ&oacute;        (       a      2      +    1    ,      b      2      +    1     )     =    1     (a2+1,b2+1)=1   .   Giả sử          (     a    +    b     )       2      +       (     a    b    &minus;    1     )       2      =      c      2       (a+b)2+(ab&minus;1)2=c2    với       c    &isin;      N    &lowast;       c&isin;N&lowast;      Khi đ&oacute; ta c&oacute;        (       a      2      +    1     )      (       b      2      +    1     )     =      c      2           M&agrave;        (       a      2      +    1    ,      b      2      +    1     )     =    1     (a2+1,b2+1)=1    n&ecirc;n theo bổ đề về số ch&iacute;nh phương, ta c&oacute;         a      2      +    1     a2+1    v&agrave;         b      2      +    1     b2+1    l&agrave; c&aacute;c số ch&iacute;nh phương.   Đặt         a      2      +    1    =      d      2      (    d    &isin;      N    &lowast;      )    &rArr;    (    d    &minus;    a    )    (    d    +    a    )    =    1    &rArr;    d    =    1    ;    a    =    0     a2+1=d2(d&isin;N&lowast;)&rArr;(d&minus;a)(d+a)=1&rArr;d=1;a=0   , v&ocirc; l&iacute;.   Vậy ....

maingoctruc · Answer

V&igrave;(a;b)=1   &rArr;ab$ neq$ 0   V&igrave; ab + c&sup2; vdots ac   &rArr;ab+c&sup2;=ac&times;k( với k &isin;$Z^{+}$ )   &rArr;ab=c&times;ak-c&sup2;   &rArr;ab=c&times;(ak-c)   &rArr;ak-c$ neq$ 0   V&igrave; (a;b)=1   &rArr; ( left[  begin{array}{l}a vdots c ; b vdots(ak-c)  a vdots(ak-c);b vdots c end{array}  right. )    TH1:Với a vdotsc v&agrave; b vdots(ak-c)   &rArr;a=ch(với h&isin;$Z^{+}$ )   V&igrave; b vdots(ak-c)   &rArr;b vdotsc(hk-1)   M&agrave; ak-c=c(hk-1) v&agrave; ak-c$ neq$ 0   &rArr;hk-1$ neq$ 0   &rArr;b vdotsc   &rArr;(a;b)=c(m&acirc;u thuẫn với a;b nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau)   TH2:Với b vdotsc v&agrave; a vdots(ak-c)   &rArr;b=ch(với h&isin;$Z^{+}$ )   &rArr;ab+c&sup2;=ach+c&sup2;   &rArr;c&times;(ah+c)=ab+c&sup2;   &rArr;c&times;(ah+c)vdotsac   &rArr;ah+cvdotsa   V&igrave; ahvdotsa   &rArr;cvdotsa   &rArr;bvdotsa(m&acirc;u thuẫn với a;b nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau)   Từ 2 trường hợp tr&ecirc;n   &rArr;Kh&ocirc;ng c&oacute; 3 số a;b v&agrave; c thỏa m&atilde;n   &rArr;Kh&ocirc;ng chứng minh được   &rArr;Đề b&agrave;i sai