Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: cho 2 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.cm rằng (a^2 + b^2 + c^2)^3 >= 9(a+b+c)

Toán Lớp 9: cho 2 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.cm rằng (a^2 + b^2 + c^2)^3 >= 9(a+b+c)

Comments ( 2 )

  1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:
    Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
    a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2>=2ab+2bc+2ca
    <=>2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca
    <=>3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
    <=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
    <=>a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3
    <=>(a^2+b^2+c^2)^3>=(a+b+c)^6/27
    Mặt khác:
    Áp dụng bất đẳng thức cosi cho ba số dương ta có:
    a+b+c>=3\root{3}{abc}=3
    <=>(a+b+c)^5>=3^{5}
    <=>(a+b+c)^5/27>=3^{5}/3^{3}=9
    <=>(a+b+c)^6/27>=9(a+b+c)
    =>(a^2+b^2+c^2)^3>=9(a+b+c)(đpcm)
    Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

  2. Áp dụng bất đẳng thức $Cosi$ cho $2$ số thực dương ta có:
    $a^2+b^2\ge2ab$
    $b^2+c^2\ge2bc$
    $c^2+a^2\ge2ca$
    $\Rightarrow a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ca$
    $\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2(ab+bc+ca)$
    $\Leftrightarrow2(a^2+b^2+c^2)\ge2ab+2bc+2ca$
    $\Leftrightarrow3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
    $\Leftrightarrow3(a^2+b^2+c^2)\ge(a+b+c)^2$
    $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
    $\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge\dfrac{(a+b+c)^6}{3}(1)$
    Áp dụng bất đẳng thức $Cosi$ cho $3$ số thực dương ta có:
    $a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3$
    $\Leftrightarrow(a+b+c)^5\ge3^5$
    $\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^5}{3^3}\ge\dfrac{3^5}{3^3}$
    $\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^6}{27}\ge9(a+b+c)(2)$
    $\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^5}{27}\ge9(2)$
    Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
    $(a^2+b^2+c^2)^3\ge9(a+b+c)$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )