Toán Lớp 8: tìm gtnn của biểu thức x^2+y^2-3x-3y+xy

Question

Toán Lớp 8:  tìm gtnn của biểu thức x^2+y^2-3x-3y+xy

ngoclanhoa · Answer

Giải đáp: min{x^2+y^2-3x-3y+xy}=-3<=>x=y=1. Lời giải và giải thích chi tiết: Đặt A=x^2+y^2-3x-3y+xy <=>4A=4x^2+4y^2+4xy-12x-12y <=>4A=4x^2+4xy+y^2-12x-6y+3y^2-6y <=>4A=(2x+y)^2-6(2x+y)+9+3y^2-6y+3-12 <=>4A=(2x+y-3)^2+3(y-1)^2-12 Vì (2x+y-3)^2+3(y-1)^2>=0 =>(2x+y-3)^2+3(y-1)^2-12>=-12 =>4A>=-12 =>A>=-3 Dấu '=' xảy ra khi {(2x+y-3=0),(y-1=0):}<=>x=y=1. Vậy min{x^2+y^2-3x-3y+xy}=-3<=>x=y=1.

danvanthu · Answer

Giải đáp: min(x^2+y^2-3x-3y+xy)=-3 khi (x;y)=(1;1) Lời giải và giải thích chi tiết: x^2+y^2-3x-3y+xy =x^2-2x+1+y^2-2y+1+xy-x-y+1-3 =(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+x.(y-1)-(y-1)-3 =(x-1)^2+(y-1)^2+(x-1).(y-1)-3 =1/4 (x-1)^2+(x-1).(y-1)+(y-1)^2+3/4 (x-1)^2-3 =[1/2 .(x-1)]^2+2 . 1/2 (x-1) .(y-1)+(y-1)^2 +3/4 (x-1)^2-3 =[1/2 .(x-1)+(y-1)]^2+3/4 (x-1)^2-3 Vì [1/2 (x-1)+(y-1)]^2>=0∀x;y (x-1)^2≥0∀x->3/4 (x-1)^2≥0∀x ->[1/2 (x-1)+(y-1)]^2+3/4 (x-1)^2≥0∀x;y ->[1/2 (x-1)+(y-1)]^2+3/4 (x-1)^2 -3≥-3∀x;y ->x^2+y^2-3x-3y+xy>=-3∀x;y Dấu '=' xảy ra <=>{(1/2 (x-1)+(y-1)=0),(x-1=0):}<=>{(1/2.(1-1)+(y-1)=0),(x=1):} <=>{(y=1),(x=1):} Vậy x^2+y^2-3x-3y+xy đạt GTNN bằng =-3 khi (x;y)=(1;1)