Toán Lớp 12: cho hàm số y=(x+3)/(x+1) (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị b. CMR d: y=2x+m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để AB nhỏ nhất

Question

Toán Lớp 12:  cho hàm số y=(x+3)/(x+1) (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị b. CMR d: y=2x+m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để AB nhỏ nhất

phuongthaongoc · Answer

a,   1. TXĐ $D= mathbb{R}$   $ {-1 }$   2. Sự biến thi&ecirc;n của h&agrave;m số    $ lim limits_{x to  pm  infty}y=1$   $ to$ TCN: $y=1$   $ lim limits_{x to (-1)^+}y=+ infty$   $ to$ TCĐ: $x=-1$   X&eacute;t $y'= dfrac{-2}{(x+1)^2}$   $y'<0 quad forall x in D to$ h&agrave;m số nghịch biến tr&ecirc;n $(- infty;-1)$ v&agrave; $(-1;+ infty)$    H&agrave;m số kh&ocirc;ng c&oacute; cực trị    3. Vẽ đồ thị    T&acirc;m đối xứng $I(-1;1)$   Đồ thị đi qua c&aacute;c điểm: $(0;3)$, $(-3;0)$   b,   ĐK: $x ne -1$   PTHĐGĐ: $ dfrac{x+3}{x+1}=2x+m$   $ to x+3=(2x+m)(x+1)$   $ to 2x^2+2x+mx+m-x-3=0$   $ to 2x^2+(m+1)x+m-3=0$   $ Delta=(m+1)^2-8(m-3)=m^2+2m+1-8m+24=m^2-6m+25=(m-3)^2+16>0 quad forall m$   $ to d$ lu&ocirc;n cắt $(C)$ tại hai điểm ph&acirc;n biệt   Theo Viet: $ begin{cases} x_A+x_B= dfrac{-m-1}{2}   x_A x_B= dfrac{m-3}{2} end{cases}$   $AB= sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$   $AB^2=(x_A-x_B)^2+(2x_A-2x_B)^2$   $=5(x_A-x_B)^2$   $=5(x_A+x_B)^2-20x_A x_B$   $=5. dfrac{ (m+1)^2}{ 4}-20. dfrac{ m-3}{2}$   $=  dfrac{5}{4}(m^2+2m+1) -10m +30$   $= dfrac{5}{4}m^2 - dfrac{15}{2}m + dfrac{125}{4} ge 20$   Vậy $ min AB= sqrt{20}$, dấu $=$ xảy ra khi $m=3$

lantrungbach · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết: b. Phương trình hoành độ giao điểm: (x+3)/(x+1)=2x+m <=>{(g(x)=2x^2+(m+1)x+m-3=0 (2)),(xne-1):} Phương trình (2)<=> {(Δ=m^2-6m+25>0AAm),(g(-1)=-2ne0AAm):} => (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1 =>(C) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m Gọi 2 giao điểm là A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) Theo Viét ta có: {(x_1+x_2=-(m+1)/2),(x_1.x_2=(m-3)/2):} Ta có: AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 =(x_2-x_1)^2+4(x_2-x_1)^2 =5(x_2-x_1)^2 =5[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2] =5[(m+1)^2/4-2(m-3)] =5/4[(m+1)^2-8(m-3)] =5/4(m^2-6m+25) =5/4[(m-3)^2+16]geq20 Vậy độ dài AB nhỏ nhất là 2sqrt5 khi m=3