Toán Lớp 12: Giải pt sau: a. 2^(x-1)-2^(x^2-x)=(x-1)^2 b. 2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos2x Cần lời giải rõ ràng, chi tiết ạ

Question

Toán Lớp 12:  Giải pt sau: a. 2^(x-1)-2^(x^2-x)=(x-1)^2 b. 2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos2x Cần lời giải rõ ràng, chi tiết ạ

buithaianh98 · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết: a. 2^(x-1)-2^(x^2-x)=(x-1)^2 $(1)$ <=>2^(x-1)-2^(x^2-x)=x^2-2x+1 <=>2^(x-1)+x-1=2^(x^2-x)+x^2-2 Xét f(t)=2^t+t(t inRR) Ta có: f'(t)=2^tln2+1>0AAt inRR =>f(t) đồng biến trên RR $(1)$<=>f(x-1)=f(x^2-x) <=>x-1=x^2-x <=>x^2-2x+1=0 <=>x=1 Vậy phương trình có nghiệm x=1 b. 2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos2x <=>2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos^2x-sin^2x <=>2021^(sin^2 x)+sin^2x=2021^(cos^2 x)+cos^2x Xét hàm số f(t)=2021^t+t(t>=0) Ta có: f'(t)=2021^tln2021+1>0,AAt>=0 =>f(t) đồng biến trên [0;+oo) (1)<=>f(sin^2x)=f(cos^2x) <=>sin^2x=cos^2x <=>cos^2x-sin^2x=0 <=>cos2x=0 <=>2x=pi/2+kpi <=>x=pi/4+(kpi)/2(kinZZ) Vậy phương trình có nghiệm x=pi/4+(kpi)/2(kinZZ)