Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 11: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 .cm: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 2(1+a+b+c)

Tháng Mười Một 19, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 11: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 .cm: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 2(1+a+b+c)

Comments ( 2 )

  1. behocgioitoan
    behocgioitoan
    19 Tháng Mười Một, 2022 at 6:33 chiều
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Ta có bổ đề sau: 
    $(a+b)(b+c)(a+c) \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac)$ 
    Chứng minh như sau: 
    Ta có:
    $(a+b)(b+c)(a+c) =(a^2b+a^2c)+(b^2a+b^2c)+(c^2a+c^2b)+2abc$
    Ta có:
    $(a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^2b+a^2c)+(b^2a+b^2c)+(c^2a+c^2b)+3abc$
    $⇒(a+b)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc$
    Mặt khác: $(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq 9abc$ 
    $⇒-abc \geq \frac{1}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac) $ 
    $⇒(a+b)(b+c)(a+c) \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac)$ (Đpcm).
    Áp dụng vào biểu thức trên và Theo bất đẳng thức $Cauchy$:
    $⇒VT \geq  \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq \frac{8}{9}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.(ab+bc+ac)=\frac{8}{3}.(ab+bc+ac)$
    Điều cần chứng minh chuyển thành:
    $⇒\frac{8}{3}.(ab+bc+ac) \geq 2.(1+a+b+c)$ 
    $⇔a+b+c \geq 3$ 
    Mà điều này luôn đúng, bởi vì Theo $Cauchy$, Ta có: $a+b+c \geq 3.\sqrt[]{abc}=3 $
    Vậy $(a+b)(b+c)(a+c) \geq 2.(1+a+b+c)$.

  2. dongoctuan
    dongoctuan
    19 Tháng Mười Một, 2022 at 6:33 chiều
    Reply
    Giải đáp:
    Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 .cm: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 2(1+a+b+c) (1)
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     Đặt x=a+b+c
            y=ab+bc+ca
             z=abc=1
    Ta có :
    (1) ⇔ xy-z≥2(1+x) 
    ⇔ xy-z≥2+2x 
    ⇔xy-1≥2+2x
    ⇔xy-2x≥ 3
    ⇔x(y-2) ≥3
    Mặt khác :
    x³ ≥27z     ( tự thay vô cm)
    ⇒x≥ 3
    y≥3xz 
    ⇔y≥3
    Do x,y≥3 ⇒ x(y-2) ≥3 (đpcm)

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Bảo Anh

About Bảo Anh