Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Giúp em vs ạ ! em cần gấp Cho a,b,c,d là các số nguyên tố lớn hơn 2 thỏa mãn : $a^{5}$ + $b^{5}$ + $c^{5}$ + $d^{5}$ chia hết cho 40 .

Tháng Mười Một 18, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Giúp em vs ạ ! em cần gấp
Cho a,b,c,d là các số nguyên tố lớn hơn 2 thỏa mãn : $a^{5}$ + $b^{5}$ + $c^{5}$ + $d^{5}$ chia hết cho 40 . CMR : a + b + c + d chia hết cho 40

Comments ( 2 )

  1. chauhoangmy98
    chauhoangmy98
    18 Tháng Mười Một, 2022 at 9:35 sáng
    Reply
    $\text{ Xét hiệu }$
     a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d) 
    $\text{=(a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d)}$
    $\text{Ta có p⁵-p chia hết cho 5 (fermat nhỏ)}$
    $\text{Chứng minh}$
    $\text{   p⁵-p}$
    $\text{=p(p⁴-1)}$
    $\text{=p(p²-1).(p²+1)}$
    $\text{=p(p-1).(p+1).(p²-4)+5.(p-1).p.(p+1)}$
    $\text{=(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1)}$
    Vì p là số nguyên nên p-2;p-1;p;p+1;p+2 là 5 số nguyên liên tiếp 
    ⇒(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2) $\vdots$ 5
    $\text{Mà 5.(p-1).p.(p+1)  $\vdots$ 5}$
    $\text{Suy ra (p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1)  $\vdots$ 5}$
    $\text{⇔ p⁵-p $\vdots$ 5 (1)}$
    $\text{+) Mà p là số nguyên tố lớn hơn 2 nên p là số lẻ}$
    $\text{⇒(p-1).(p+1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên}$
    $\text{⇔(p-1).(p+1) $\vdots$ 8}$
    $\text{⇔p(p-1).(p-1).(p²+1) $\vdots$ 8}$
    $\text{⇔p⁵-p $\vdots$ 8 (2)}$
    $\text{Từ (1);(2)⇒p⁵-p chia hêt cho 40}$
    $\text{Áp dụng ta có}$
    $\text{a⁵-a $\vdots$ 40 }$
    $\text{b⁵-b $\vdots$ 40}$
    $\text{c⁵-c $\vdots$ 40}$
    $\text{d⁵-d $\vdots$ 40}$
    $\text{Suy ra (a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d) $\vdots$ 40}$
    $\text{⇔a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d) $\vdots$ 40}$
    $\text{Mà a⁵+b⁵+c⁵+d⁵ $\vdots$ 40 }$
     

  2. quynhthanhnhu
    quynhthanhnhu
    18 Tháng Mười Một, 2022 at 9:35 sáng
    Reply
    Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     Xét hiệu
    (a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d)
    =(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(d^5-d)
    Ta có
    a^5-a
    =a(a^4-1)
    =a(a^2-1)(a^2+1)
    =a(a-1)(a+1)(a^2+1)
    =a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
    =a(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a-1)(a+1)
    =a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
    Ta có
    a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại ít nhất tích của hai số chẵn liên tiếp
    =>{(a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots5),(a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots8):}
    Mà (5,8)=1
    =>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots40
    Ta lại có a là số nguyên tố lớn hơn 2
    =>a lẻ
    =>(a-1)(a+1) là tích hai số chẵn liê tiếp
    =>(a-1)(a+1) \vdots 8
    =>5a(a-1)(a+1) \vdots 40
    =>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) \vdots 40
    =>(a^5-a) \vdots 40
    Chứng minh tương tự
    =>{((b^5-b) \vdots 40),((c^5-c) \vdots 40),((d^5-d) \vdots 40):}
    =>(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(d^5-d) \vdots 40
    =>(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d) \vdots 40
    Mà (a^5+b^5+c^5+d^5) \vdots 40
    =>(a+b+c+d) \vdots 40

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Mỹ anh

About Mỹ anh