Toán Lớp 8: Cho ∆ABC vuông tại A, có AC= 2AB. Gọi M, D lân lượt là trung điểm BC và AB
Vẽ ME vuông góc với AC tại E
a. chứng minh ADME là hình chữ nhật
b. D đối xứng với M qua E. Chứng minh AMCP là hình thoi
c.Vẽ AH vuông góc AC tại H; I là giao điểm của BE và MD. Chứng minh HI là tia phân giác của góc AHC
Leave a reply
Comments ( 1 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
a.Ta có $M, D$ là trung điểm $BC, BA$
$\to MD$ là đường trung bình $\Delta ABC\to MD//AC$
Mà $AC\perp AB\to MD\perp AB$
Ta có $MD\perp AB, ME\perp AC, AB\perp AC$
$\to ADME$ là hình chữ nhật
b.Ta có $M, P$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $MP$
Mà $ME\perp AC\to MP\perp AC=E$ là trung điểm mỗi đường
$\to AC$ là trung trực của $MP$
$\to AM=AP, CM=CP$
Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, M$ là trung điểm $BC$
$\to MA=MB=MC=\dfrac12BC$
$\to AM=MC=CP=PA$
$\to AMCP$ là hình thoi
c.Ta có $AMCP$ là hình thoi, $AC\cap MP=E$
$\to E$ là trung điểm $AC$
$\to AB=\dfrac12AC=AE=EC$ vì $AC=2AB$
Mà $\hat A$ vuông tại $A\to\Delta ABE$ vuông cân tại $A$
Ta có $MD//AC\to MI//CE$
Mà $M$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $BE$
$\to AI\perp BE$
Gọi $AH\cap BI=F$
$\to \widehat{AFI}=\widehat{BFH}$
Mà $\widehat{AIF}=\widehat{BHF}(=90^o)$
$\to\Delta AFI\sim\Delta BFH(g.g)$
$\to \dfrac{AF}{BF}=\dfrac{FI}{FH}$
$\to \dfrac{AF}{FI}=\dfrac{BF}{FH}$
Mà $\widehat{AFB}=\widehat{HFI}$
$\to\Delta AFB\sim\Delta IFH(c.g.c)$
$\to \widehat{IHF}=\widehat{ABF}=\widehat{ABE}=45^o$ do $\Delta ABE$ vuông cân tại $E$
$\to \widehat{AHI}=\dfrac12\widehat{AHC}$ vì $\widehat{AHC}=90^o$
$\to HI$ là phân giác $\widehat{AHC}$
$\to đpcm$