Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=3`. CMR: `a^3/(a^3+b^2)+b^3/(b^3+c^2)+c^3/(c^3+a^2)\ge 3/2`

Tháng Mười Một 13, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. CMR: a^3/(a^3+b^2)+b^3/(b^3+c^2)+c^3/(c^3+a^2)\ge 3/2

Comments ( 1 )

  1. buithaianh98
    buithaianh98
    13 Tháng Mười Một, 2022 at 9:48 chiều
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Theo bất đẳng thức $Co-si$:
    $\frac{a^3}{a^3+b^2}=1-\frac{b^2}{a^3+b^2} \geq 1- \frac{b^2}{2.a\sqrt[]{a}.b } =1-\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}} $  
    Chứng minh tương tự:
    $⇒\frac{b^3}{b^3+c^2} \geq 1-\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}} $  
    $⇒\frac{c^3}{c^3+a^2} \geq 1-\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}} $  
    Cộng các vế trên:
    $⇒VT ≥ 3-(\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}}+\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}}+\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}})$  
    Mà ta có: $\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}}+\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}}+\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}} \leq \frac{1}{4}.(\frac{b}{a^2}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c^2}+\frac{a}{c})$
    Và ta có:
    $\frac{1}{4}.(\frac{b}{a^2}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c^2}+\frac{a}{c}) \geq \frac{1}{4}.(3+3) =\frac{3}{2}$ 
    (Chỉ là áp dụng $Co-si$ cho 3 số dương và $abc \leq 1$ ở đề bài )  
    $⇒VT ≥3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} $
    ->Điều phải chứng minh.
    Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$ 

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Diệu Hằng

About Diệu Hằng