Toán Lớp 10: Cho a+b+c ≥ 3. cm : a^4 +c^4 +c^4 ≥ a ³+b ³+c ³

Question

Toán Lớp 10:  Cho a+b+c  ≥ 3. cm : a^4 +c^4 +c^4  ≥ a ³+b ³+c ³

thanhthuythu · Answer

Đáp án:       Giải thích các bước giải:

behocgioitoan · Answer

Sửa đề: $a^4+b^4+c^4 ge a^3+b^3+c^3$   &Aacute;p dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho $4$ số ta được:   $ begin{array}{l} {a^4} + {a^4} + {a^4} + 1  ge 4 sqrt[4]{{{a^4}.{a^4}.{a^4}.1}} = 4{a^3}   {b^4} + {b^4} + {b^4} + 1  ge 4 sqrt[4]{{{b^4}.{b^4}.{b^4}.1}} = 4{b^3}   {c^4} + {c^4} + {c^4} + 1  ge 4 sqrt[4]{{{b^4}.{b^4}.{b^4}.1}} = 4{c^3}     Rightarrow 3 left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}}  right) + 3  ge 4 left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}}  right)     Rightarrow 3 left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}}  right)  ge 4 left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}}  right) - 3 = 3 left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}}  right) + {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3  end{array}$   B&acirc;y giờ ta cần chứng minh $a^3+b^3+c^3 ge 3$   Tiếp tục &aacute;p dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số ta được:   $ begin{array}{l} {a^3} + 1 + 1  ge 3 sqrt[3]{{{a^3}}} = 3a   {b^3} + 1 + 1  ge 3 sqrt[3]{{{b^3}}} = 3b   {c^3} + 1 + 1  ge 3 sqrt[3]{{{c^3}}} = 3c     Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6  ge 3 left( {a + b + c}  right)  ge 9     Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3}  ge 3  end{array}$   Vậy   $ begin{array}{l} 3 left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}}  right)  ge 3 left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}}  right) + {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3  ge 3 left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}}  right)     Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4}  ge {a^3} + {b^3} + {c^3}  end{array}$   Dấu bằng xảy ra khi v&agrave; chỉ khi $a=b=c=1$