Toán Lớp 12: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Có SC = 2a, SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

Question

Toán Lớp 12:  Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Có SC = 2a, SA  ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

kymmailien · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   Gọi AH l&agrave; đường cao trong tam gi&aacute;c SAB   Ta c&oacute;:   BC&perp;AB&sub;(SAB)   BC&perp;SA&sub;(SAB)   Như vậy BC&perp;(SAB)&sup;AH   &rArr;AH&perp;BC&sub;(SBC)   m&agrave; AH&perp;SB&sub;(SBC)   &rArr;AH&perp;(SBC)   Như vậy theo đề b&agrave;i ta c&oacute;:   $d[D;(SBC)]=d[A;(SBC)]=AH$    Do ABCD l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng   $&rArr;AC=a sqrt2$   &Aacute;p dụng pythagoras trong&Delta;SAC:   $&rArr;SA= sqrt{SC^2-AC^2}= sqrt{4a^2-2a^2}=a sqrt2$   &Aacute;p dụng hệ thức lượng trong &Delta;SAB&perp;A c&oacute; đường cao AH   $&rArr; frac{1}{AH^2}= frac{1}{SA^2}+ frac{1}{AB^2}  &rArr;AH= frac{a sqrt6}{3}$    #X

mytamhoang · Answer

Giải đáp:   $d(D;(SBC)) =  dfrac{a sqrt6}{3}$    Lời giải và giải thích chi tiết:   $ABCD$ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng cạnh $a$   $ Rightarrow AC = BD = a sqrt2$   &Aacute;p dụng định l&yacute; Pytago ta được:   $ quad SC^2 = SA^2 + AC^2$   $ Rightarrow SA =  sqrt{SC^2 - AC^2} =  sqrt{4a^2 - 2a^2}$   $ Rightarrow SA= a sqrt2$   Ta c&oacute;:   $ begin{cases}BC perp AB  SA perp BC end{cases}$   $ Rightarrow BC perp (SAB)$   Trong $mp(SAB)$ kẻ $AH perp SB$   $ Rightarrow BC perp AH$   $ Rightarrow AH perp (SBC)$   $ Rightarrow AH = d(A;(SBC))$   &Aacute;p dụng hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng, ta được:   $ quad  dfrac{1}{AH^2} =  dfrac{1}{SA^2} +  dfrac{1}{AB^2}$   $ Rightarrow AH  = dfrac{SA.AB}{ sqrt{SA^2 + AB^2}} =  dfrac{a sqrt2.a}{ sqrt{2a^2 + a^2}}$   $ Rightarrow AH =  dfrac{a sqrt6}{3}$   Mặt kh&aacute;c:   $AD//BC$   $ Rightarrow AD//(SBC)$   $ Rightarrow d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) = AH =  dfrac{a sqrt6}{3}$   Vậy $d(D;(SBC)) =  dfrac{a sqrt6}{3}$