Toán Lớp 8: cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd. CMR: $a^{5}$ + $b^{5}$ + $c^{5}$ + $d^{5}$ là hợp số

Question

Toán Lớp 8:  cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd. CMR:   $a^{5}$ + $b^{5}$ + $c^{5}$ + $d^{5}$ là hợp số

ngocle44 · Answer

Ta c&oacute;: ab=cd. Đặt a/d=c/b=k   &rArr;$ begin{cases} a=dk  c=bk  end{cases}$   &rArr; a^5+b^5+c^5+d^5   =(dk)^5+b^5+(bk)^5+d^5   =d^5(k^5+1)+b^5(1+k^5)   =(d^5+b^5)(k^5+1)   M&agrave; a,b,c,d l&agrave; số nguy&ecirc;n dương   &rArr; a^5 +b^5 + c^5 + d^5 l&agrave; hợp số

kimoanh34 · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:    $Gọi_{}$ $ƯCLN_{}$ ($a_{}$, $c_{}$) $=_{}$ $k_{}$, $ta_{}$ $c&oacute;_{}$: $a_{}$ $=_{}$ $ka_{1}$; $c_{}$ $=_{}$ $kc_{1}$ v&agrave; ($a_{1}$, $c_{1}$) $=_{}$ $1_{}$.   $Thay_{}$ $v&agrave;o_{}$ $ab_{}$ $=_{}$ $cd_{}$ $được_{}$ $ka_{1}$b $=_{}$ $kc_{1}$d.   $N&ecirc;n_{}$ $a_{1}$b $=_{}$ $c_{1}$d ($1_{}$)   $ta_{}$ $c&oacute;_{}$: $ frac{a_{1}b}{c_{1}}$ m&agrave; ($a_{1}$, $c_{1}$ $=_{}$ $1_{}$.   $N&ecirc;n_{}$ $ frac{b}{c_{1}}$. $Đặt_{}$ $b_{}$ = $c_{1}$m ($m_{}$ &isin; N*),   $thay_{}$ $v&agrave;o_{}$ ($1_{}$) $được_{}$ $a_{1}$$c_{1}$$m_{}$ $=_{}$ $c_{1}$d.   $N&ecirc;n_{}$ $a_{1}$m $=_{}$  $d_{}$.   $Do_{}$ $đ&oacute;_{}$:   $A_{}$$=_{}$$a^{5}$$+_{}$$b^{5}$$+_{}$$c^{5}$$+_{}$$d^{5}$.   $A_{}$ $=_{}$ $k_{5}$$a_{1}$$^{5}$ $+_{}$$c_{5}$$m^{5}$ $+_{}$$k_{5}$$c_{1}$$^{5}$$+_{}$$a_{1}$$^{5}$$m_{5}$.   $A_{}$ $=_{}$ $k^{5}$$(_{}$$a_{1}$$^{5}$$+_{}$$c_{1}$$^{5}$$)_{}$$+_{}$$m^{5}$$(_{}$$a_{1}$$^{5}$$+_{}$$c_{1}$$^{5}$$)_{}$.   $A_{}$ $=_{}$ $(_{}$$a_{1}$$^{5}$$+_{}$$c_{1}$$^{5}$$)_{}$ $(_{}$$k^{5}$$+_{}$$m^{5}$ $)_{}$.   $Do_{}$ $a_{1}$$,_{}$$c_{1}$$,_{}$$k_{}$$,_{}$$m_{}$ $l&agrave;_{}$ $c&aacute;c_{}$ $số_{}$ $nguy&ecirc;n_{}$ $dương_{}$.    $N&ecirc;n_{}$ $A_{}$ $l&agrave;_{}$ $hợp_{}$ $số_{}$.    $Mong_{}$ $được_{}$ $5_{}$ $sao_{}$ $+_{}$ $cảm_{}$ $ơn_{}$ $+_{}$ $hay_{}$ $nhất_{}$ $ạ_{}$     $CH&Uacute;C_{}$ $BẠN_{}$ $HỌC_{}$ $TỐT_{}$ $!_{}$       $@_{}$$Sherry2007_{}$