Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho `a^3 + b^3 + c^3=3abc`.Chứng minh rằng `a+b+c=0` hoặc `a=b=c`

Tháng Mười 13, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Cho a^3 + b^3 + c^3=3abc.Chứng minh rằng a+b+c=0 hoặc a=b=c

Comments ( 2 )

  1. dongoctuan
    dongoctuan
    13 Tháng Mười, 2022 at 10:44 sáng
    Reply
    Ta có : 
    $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc
    ⇔ $(a + b)^{3}$ – $3a^{2}$b – $3ab^{2}$ + $c^{3}$ – 3abc = 0
    ⇔ $(a + b + c)^{2}$ – 3$(a + b)^{2}$c – $3(a + b)^{2}$c – 3ab(a + b + c) = 0
    ⇔ $(a + b + c)^{2}$ – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = 0
    ⇔ (a + b + c)[$(a + b + c)^{2}$ – 3(b + a)c – 3ab] = 0
    ⇔ (a + b + c)($a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ + 2ab + 2bc + 2ac – 3ab – 3bc – 3ac) = 0
    ⇔ (a + b + c)($$\left \{ {{a + b + c = 0} \atop {2(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac) = 0}} \right.$ $ + $b^{2}$ + $c^{2}$ – ab – bc – ac) = 0
    ⇔ $\left \{ {{a + b + c – 0} \atop {a^{2} – 2ab + b^{2} + c^{2} – 2bc + b^{2} + a^{2} – 2ac + c^{2} = 0}} \right.$ 
    ⇔ $\left \{ {{a + b + c = 0} \atop {(a – b)^{2} + (b – c)^{2} + (a – c)^{2} = 0}} \right.$ 
    Mà $(a – b)^{2}$ $\geq$ 0 $∀_{a,b}$ ;
    $(b – c)^{2}$ $\geq$ 0 $∀_{b,c}$ ;
    $(a – c)^{2}$ $\geq$ 0 $∀_{a,c}$ 
    Dấu “=” xảy ra khi :
    $\left \{ {{a – b = 0} \atop {b – c = 0}} \right.$ 
    và a – c = 0 
    ⇒ a = b = c = 0

  2. ngoclandiep
    ngoclandiep
    13 Tháng Mười, 2022 at 10:44 sáng
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    a^3+b^3+c^3=3abc
    <=> a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3=3abc+3ab(a+b)
    <=> (a+b)^3+c^3=3ab(a+b+c)
    <=> (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]=3ab(a+b+c)
    <=> (a+b+c)(a^2+2ab+b^2+c^2-ac-bc)=3ab(a+b+c)
    <=> (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
    <=> [(a+b+c=0),(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0):}
    @ a+b+c=0 qquad qquad qquad (1)
    @ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
    <=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
    <=> (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
    <=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
    Vì : {((a-b)^2 ge0),((b-c)^2 ge 0),((c-a)^2 ge 0):} to VT ge 0
    Mà (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
    to {(a-b=0),(b-c=0),(c-a=0):} <=> {(a=b),(b=c),(c=a):}
    <=> a=b=c qquad qquad qquad (2)
    Từ (1;2) to \ text{đpcm}
    Vậy với a^3+b^3+c^3=3ab thì a+b+c=0 hoặc a=b=c

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Hải Phượng

About Hải Phượng