Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 10: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\rm (a+b+c)^{3}=32abc$ .Tìm GTLN của $\rm\frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$

Home/ Toán Lớp 10: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\rm (a+b+c)^{3}=32abc$ .Tìm GTLN của $\rm\frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$

Toán Lớp 10: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\rm (a+b+c)^{3}=32abc$ .Tìm GTLN của $\rm\frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$

Tháng Chín 13, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 10: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\rm (a+b+c)^{3}=32abc$ .Tìm GTLN của $\rm\frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$

Comments ( 1 )

  1. cobexinhdep
    cobexinhdep
    13 Tháng Chín, 2022 at 2:08 chiều
    Reply
    Giải đáp + giải thích các bước giải:
    VMO2004, trong đề gốc có cả tìm GTNN. Bài làm có tham khảo.
    Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa a+b+c=1->abc=1/32. Bài toán quay về tìm GTLN của a^4+b^4+c^4
    a^4+b^4+c^4
    =(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
    =(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)
    =(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+1/8
    Ta sẽ đánh giá a^2+b^2+c^2 để từ đó đánh giá được ab+bc+ca
    Đặt (a;b;c;)=(x/4;y/4;z/2) với xyz=1 và x+y+2z=4
    Vì x+y+2z=4->x+y=4-2z;xyz=1->xy=1/z nên theo bất đẳng thức Cô-si thì:
    (4-2z)^2>=4/z
    ->z<=1
    Xét a^2+b^2+c^2
    =(x^2+y^2+4z^2)/16
    =((x+y)^2-2xy+4z^2)/16
    =((4-2z)^2-2/z+4z^2)/16
    =(8z^2-16z-2/z+16)/16
    Xét hiệu: 4z^2-8z-1/z – (-5)
    =((2z-1)^2(z-1))/z<=0
    ->4z^2-8z-1/z<=-5
    ->(8z^2-16z-2/z+16)/16<=3/8
    ->a^2+b^2+c^2<=3/8
    ->(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)<=3/8
    ->ab+bc+ca>=5/16
    ->(a^2+b^2+c^2)^2-2(ab+bc+ca)^2+1/8<=(3/8)^2-2. (5/16)^2+1/8=9/128
    ->a^4+b^4+c^4<=9/128
    Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c)=(1/2;1/4;1/4) và các hoán vị

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Tuyết

About Tuyết