Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC vuông tại A A đường cao AH Từ trung điểm E của AC vẽ EF vuông góc với BC tại F chứng minh a) EF^2=(BH.CH)/4 b) AF =

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC vuông tại A A đường cao AH Từ trung điểm E của AC vẽ EF vuông góc với BC  tại F chứng minh a) EF^2=(BH.CH)/4  b) AF = BE. cosC

haiyemy · Answer

a) X&eacute;t $∆ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$ đường cao $AH$   =>AH^2=BH .CH (hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng)   $  $   X&eacute;t $∆ACH$ c&oacute;:    qquad E l&agrave; trung điểm $AC$ (gt)    qquad E F//$AH$ (c&ugrave;ng $ perp BC$)   =>F l&agrave; trung điểm $CH$   =>E F l&agrave; đường trung b&igrave;nh $∆ACH$   =>E F={AH}/2   =>E F^2={AH^2}/4   =>E F^2={BH.CH}/4 (đpcm)   $  $   b) X&eacute;t $∆HAC$ v&agrave; $∆ABC$ c&oacute;:    qquad  hat{C} chung    qquad  hat{AHC}= hat{BAC}=90&deg;   =>∆HAC∽∆ABC (g-g)   =>{HA}/{AB}={HC}/{AC} $(1)$   V&igrave; E;F lần lượt l&agrave; trung điểm $AC;HC$    =>HC=2HF; AC=2AE   Từ (1)=>{HA}/{AB}={2HF}/{2AE}={HF}/{AE}   $  $   X&eacute;t $∆AHF$ v&agrave; $∆BAE$ c&oacute;:    qquad  hat{AHF}= hat{BAE}=90&deg;    qquad {HA}/{AB}={HF}/{AE} (c/m tr&ecirc;n)   =>∆AHF∽∆BAE (c-g-c)   =>{AF}/{BE}={HA}/{AB} $(2)$   $  $   X&eacute;t $∆AHC$ vu&ocirc;ng tại $H$   =>cosC=cos hat{ACH}={HC}/{AC} $(3)$   $  $   Từ (1);(2);(3)=>{A F}/{BE}={HC}/{AC}=cosC    =>A F=BE cos C (đpcm)