Toán Lớp 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau x^2 + y^2 +z^2 -yz-4x-3y + 2027

Question

Toán Lớp 8:  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau x^2 + y^2 +z^2 -yz-4x-3y + 2027

maingocquynhnhu2k1 · Answer

Ta có: x^2 + y^2 + z^2 - yz - 4x - 3y + 2027 = ( x^2 + 4x + 4 ) + ( z^2 - 2x × y/2 + (y^2)/4) + (3^2)/4 - 3y + 2023 = ( x - 2 )^2 + ( z - y/2)^2 + 3/4(y^2 - 4y + 4 ) + 2020 = ( x - 2)^2 + ( z - y/2)^2 + 3/4(y - 2^2 ) + 2020 Ta lại có: ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; ( y - 2^2 ) >= 0,$ forall$x, y, z => ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; 3/4( y - 2^2 ) >= 0,$ forall$x, y, z => ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; 3/4( y - 2^2 ) + 2020 >= 2020,$ forall$x, y, z => MinA = 2020 - Vậy dấu bằng xảy ra khi: <=> ( x -2)^2 = ( z - y/2)^2 = ( y - 2^2 ) = 0 <=> $ begin{cases} x = 2 y = 2 z = y/2 end{cases}$ <=> $ begin{cases} x = 2 y = 2 z = 1 end{cases}$ - Vậy: MinA = 2020 <=> ( x; y; z ) = ( 2; 2; 1 ) @ Sả gửi bạn

huenthanh97 · Answer

Ta có: x^2 + y^2 + z^2 - yz - 4x - 3y + 2027 = ( x^2 + 4x + 4 ) + ( z^2 - 2x × y/2 + (y^2)/4) + (3^2)/4 - 3y + 2023 = ( x - 2 )^2 + ( z - y/2)^2 + 3/4(y^2 - 4y + 4 ) + 2020 = ( x - 2)^2 + ( z - y/2)^2 + 3/4(y - 2^2 ) + 2020 Ta lại có: ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; ( y - 2^2 ) >= 0,$ forall$x, y, z => ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; 3/4( y - 2^2 ) >= 0,$ forall$x, y, z => ( x - 2)^2 ; ( z -y/2 )^2 ; 3/4( y - 2^2 ) + 2020 >= 2020,$ forall$x, y, z => MinA = 2020 - Vậy dấu bằng xảy ra khi: <=> ( x -2)^2 = ( z - y/2)^2 = ( y - 2^2 ) = 0 <=> $ begin{cases} x = 2 y = 2 z = y/2 end{cases}$ <=> $ begin{cases} x = 2 y = 2 z = 1 end{cases}$ - Vậy: MinA = 2020 <=> ( x; y; z ) = ( 2; 2; 1 ) @ Rin