Toán Lớp 9: với a;b;c thực dương tính `min A=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c+c/(a+b)+b/(a+b)+a/(b+c)`

Question

Toán Lớp 9:  với a;b;c thực dương  tính min A=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c+c/(a+b)+b/(a+b)+a/(b+c)

ngoclankhue · Answer

Giải đáp:        $Min_A= dfrac{15}{2}$   khi a=b=c=1     Lời giải và giải thích chi tiết:     ***Chứng minh bất đẳng thức:   a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)&ge;3/2     (1)   Ta c&oacute;:   3+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]   =[a/(a+b)+b/(a+b)+b/(b+c)+c/(b+c)+a/(c+a)+c/(c+a)]+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]   =(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))   &rArr;2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))   =[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))   =1+(a+b)/(b+c)+(a+b)/(c+a)+(b+c)/(a+b)+1+(b+c)/(c+a)+(c+a)/(a+b)+(c+a)/(b+c)+1   =3+((a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b))+((a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b))+((b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c))   &Aacute;p dụng bất đẳng thức Cauchy cho a;b;c>0 ta c&oacute;:   (a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b)&ge;2 sqrt{(a+b)/(b+c).(b+c)/(a+b)}=2   (a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b)&ge;2 sqrt{(a+b)/(c+a).(c+a)/(a+b)}=2   (b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c)&ge;2 sqrt{(b+c)/(c+a).(c+a)/(b+c)}=2   &rArr;3+((a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b))+((a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b))+((b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c))&ge;9   &rArr;2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))&ge;9   &rArr;(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))&ge;9/2   &rArr;3+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]&ge;9/2   &rArr;a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)&ge;3/2(đpcm)   A=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c+c/(a+b)+b/(c+a)+a/(b+c)   =[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+[(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c]   =[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c   =[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)   &Aacute;p dụng bất đẳng thức Cauchy cho a;b;c>0 ta c&oacute;:   b/a+a/b&ge;2 sqrt{b/(a).(a)/b}=2   c/a+a/c&ge;2 sqrt{c/(a).(a)/c}=2   c/b+b/c&ge;2 sqrt{c/(b).(b)/c}=2   &rArr;(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)&ge;6   (2)   Từ (1) v&agrave; (2)   &rArr;[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)&ge;3/2+6=15/2   &rArr;A&ge;15/2   Dấu '=' xảy ra khi v&agrave; chỉ khi:a=b=c=1   Vậy $Min_A= dfrac{15}{2}$ khi a=b=c=1