Toán Lớp 9: Viết cho em bdt holder với n=2;n=3;n=4 Em mới lớp 9 nên viết sao dễ hiểu nhé

Question

Toán Lớp 9:  Viết cho em bdt holder với n=2;n=3;n=4 Em mới lớp 9 nên viết sao dễ hiểu nhé

huenthanh97 · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:    Với Bất đẳng thức Holder cho 2 số:    Cho bộ số: $a,b,x,y >0$   Khi đ&oacute;: $(a+b)(x+y)  geq ( sqrt[]{ax}+ sqrt[]{by})^2 $   Dấu bằng xảy ra khi: $ frac{a}{x}= frac{b}{y}$     Với Bất đẳng thức Holder cho 3 số:    Cho bộ số: $a,b,c,x,y,z,m,n,p >0$   Khi đ&oacute;: $(a+b+c)(x+y+z)(m+n+p)  geq ( sqrt[3]{axm}+ sqrt[3]{byn}+ sqrt[3]{czp})^3$   Dấu bằng xảy ra khi: $ left  { {{ frac{a}{x}= frac{b}{y}= frac{c}{z}}  atop { frac{a}{m}= frac{b}{n}= frac{c}{p}}}  right.$     Với Bất đẳng thức Holder cho 4 số:    Cho bộ số: $a,b,c,x,y,z,m,n,p,u,v,w>0$   Khi đ&oacute;: $(a+b+c+d)(x+y+z+s)(m+n+p+t)(u+v+w+k)  geq ( sqrt[4]{axmu}+ sqrt[4]{bynv}+ sqrt[4]{czpw}+ sqrt[4]{dstk})^4$    Dấu bằng xảy ra khi:    $ left  { {{ left  { {{ frac{a}{x}= frac{b}{y}= frac{c}{z}= frac{d}{s}}  atop { frac{a}{m}= frac{b}{n}= frac{c}{p}= frac{d}{t}}}  right.}  atop { frac{a}{u}= frac{b}{v}= frac{c}{w}= frac{d}{k}}}  right.$

tuyethutanhthu · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     Bất đẳng thức H&ouml;lder:  prod_{i=1}^m( sum_{j=1}^n a_{i_j})>=( sum_{j=1}^n root{m}{ prod_{i=1}^m a_{i_j}})^m     Hay   (a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m   Với a_{i_j}>0 m&agrave; i= overline{1,m};j= overline{1,n}   Với m=n=2, ta c&oacute; đ&oacute; l&agrave; bất đẳng thức Bunhiacopxki:   (a_{1_1}+a_{1_2})(a_{2_1}+a_{2_2})>=( sqrt{a_{1_1}a_{2_1}}+ sqrt{a_{1_2}a_{2_2}})^2   Với m=n=3 (bất đẳng thức Holder ba số thường gặp nhất)   (a_{1_1}+a_{1_2}+a_{1_3})(a_{2_1}+a_{2_2}+a_{2_3})(a_{3_1}+a_{3_2}+a_{3_3})>=( root{3}{a_{1_1}a_{2_1}a_{3_1}}+ root{3}{a_{1_2}+a_{2_2}+a_{3_2}}+ root{3}{a_{1_3}a_{2_3}a_{3_3}})^3   Tương tự với m=n=4   Chứng minh bất đẳng thức Holder:   &Aacute;p dụng bất đẳng thức C&ocirc;-si, ta c&oacute;:    (a_{1_1})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_1})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   Tương tự, c&oacute;:   (a_{1_2})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_2})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_2})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   ...   (a_{1_n})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_n})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_n}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   Cộng tương ứng vế với vế c&aacute;c bất đẳng thức tr&ecirc;n, ta c&oacute;:   m>=m( root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})/( root{m}((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}    ->(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m