Toán Lớp 9: Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau `a ; b ; c ; d` thỏa mãn : `1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/(abcd) = 1`

Question

Toán Lớp 9:  Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau a ; b ; c ; d thỏa mãn : 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/(abcd) = 1

phuongthuydung · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: Không mất tình tổng quát ta giả sử:a=3 thì 1/a+1/b+1/c+1/d+1/(abcd)<1/3+1/5+1/7+1/11+1/(3.5.7.11)(do là số nguyên tố) =>1/a+1/b+1/c+1/d+1/(abcd)<887/1155<1 =>a=2(do a là số nguyên tố) =>1/2+1/b+1/c+1/d+1/(abcd)=1 =>1/b+1/c+1/d+1/(2bcd)=1/2 Nếu b>=5=>1/b+1/c+1/d+1/(2bcd)<=1/5+1/7+1/11+1/(5.7.11)=24/55<1/2 =>b=3 =>1/c+1/d+1/(6cd)=1/6 <=>6/c+6/d+1/(cd)=1 <=>6d+6c+1=cd <=>cd-6d-6c=1 <=>d(c-6)-6(c-6)=37 <=>(d-6)(c-6)=37 Vì c,d là số nguyên tố mà >=5 =>c>=5,d>=7 =>d-6>=1>0,d-6>c-6 =>{(d-6=37),(c-6=1):} <=>{(d=43),(c=7):} =>(a,b,c,d)=(2,3,7,43) và các hoán vị.

tuyetnhungthu · Answer

Giải đáp + giải thích các bước giải: Giả sử a1/a+1/b+1/c+1/d+1/(abcd)<1/3+1/5+1/7+1/11+1/(3.5.7.11)=886/1155<1 (Vô lý) Vậy a=2 Với b ne3 ->1/2+1/b+1/c+1/d+1/(2bcd)<1/2+1/5+1/7+1/11+1/(2.5.7.11)=72/77<1 (Vô lý) Vậy b=3 Với c=5 ->1/2+1/3+1/5+1/d+1/(2.3.5.d)=1 ->1/d+1/(30d)=-1/30 ->30+1=-d ->d=-31 (KTM) Vậy c ne5 1/2+1/3+1/c+1/d+1/(6cd)=1 ->1/c+1/d+1/6cd=1/6 ->6c+6d+1=cd ->6c-cd+6d-36+37=0 ->c(6-d)-6(6-d)+37=0 ->(c-6)(6-d)+37=0 ->(c-6)(d-6)-37=0 Với c=7 ->(7-6)(d-6)-37=0 ->d-6=37 ->d=43 ->(a;b;c;d)=(2;3;7;43) Với c=11 ->(11-6)(d-6)=37 ->d-6=37/5 (Vô lý) Với c>=13->d>=17 ->(c-6)(d-6)-37>=40 (vô lý) Vậy (a;b;c;d)=(2;3;7;43)