Toán Lớp 9: Tìm GTNN của biểu thức: (x+3)/(√x-1)

Question

Toán Lớp 9:  Tìm GTNN của biểu thức: (x+3)/(√x-1)

catlantuong · Answer

$ dfrac{x + 3}{ sqrt{x} - 1}$   = $ dfrac{x - 1 + 4}{ sqrt{x} - 1}$   = $ dfrac{( sqrt{x} - 1)( sqrt{x} + 1) + 4}{ sqrt{x} - 1}$   = $ dfrac{( sqrt{x} - 1)( sqrt{x} + 1)}{ sqrt{x} - 1}$ + $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$   = $ sqrt{x}$ + 1 + $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$   = $ sqrt{x}$ - 1 + $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$ + 2   &Aacute;p dụng bất đẳng thức C&ocirc; - si, ta c&oacute;:   $ sqrt{x}$ - 1 + $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$ &ge; 2.$ sqrt{( sqrt{x} - 1) .  dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}}$ = 2. sqrt{4} = 4   &rArr; $ sqrt{x}$ - 1 + $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$ + 2 &ge; 2.$ sqrt{( sqrt{x} - 1) .  dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}}$ + 2 = 2. sqrt{4} + 2 = 4 + 2 = 6   Vậy GTNN của biểu thức l&agrave; 6   Dấu = xảy ra khi: $ sqrt{x}$ - 1 = $ dfrac{4}{ sqrt{x} - 1}$                                       &hArr; x = 9