Toán Lớp 9: Không cần vẽ hình, viết sơ đồ chứng minh thôi cũng đc: . . . . . . Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳ

Question

Toán Lớp 9: Không cần vẽ hình, viết sơ đồ chứng minh thôi cũng đc: . . . . . . Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳ

Mộng Tâm Tháng Mười Hai 17, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Không cần vẽ hình, viết sơ đồ chứng minh thôi cũng đc:
.
.
.
.
.
.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại N cắt 2 tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
a) C/m: AC + BD = CD và AC.BD không đổi.
b) C/m: AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
c) Biết AC = R/2. Tính NA và NB.

buianhtuan · Answer

a) &Aacute;p dụng t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau   $AC;NC$ l&agrave; hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$   =>AC=NC    qquad OC l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c của  hat{AON}   => hat{CON}=1/2 hat{AON}   $  $   $BD;ND$ l&agrave; hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$   =>BD=ND    qquad OD l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c của  hat{BON}   => hat{DON}=1/2 hat{BON}   $  $   =>AC+BD=NC+ND=CD   $  $    qquad  hat{COD}= hat{CON}+ hat{DON}   =1/2 ( hat{AON}+ hat{BON})=1/2 .180&deg;=90&deg;   =>∆COD vu&ocirc;ng tại $O$ c&oacute; $ON perp CD$   =>ON^2=NC.ND=AC.BD (hệ thức lượng)   =>AC.BD=R^2   Vậy AC+BD=CD v&agrave; AC.BD=R^2 kh&ocirc;ng đổi (đpcm)   $  $   b) Gọi $E$ l&agrave; trung điểm $CD$   =>OE l&agrave; trung tuyến $∆COD$ vu&ocirc;ng tại $O$   =>OE=CE=DE=1/2CD   =>∆ECO c&acirc;n tại $E$   => hat{ECO}= hat{EOC}   M&agrave; $CO$ l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c  hat{ACN} (t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)   => hat{ECO}= hat{ACO}   $  $   => hat{EOC}= hat{ACO}   V&igrave;  hat{EOC}; hat{ACO} ở vị tr&iacute; so le trong    =>AC//$OE$   M&agrave; $AC perp AB$   =>AB$ perp OE$   Ta lại c&oacute; $E$ l&agrave; t&acirc;m đường tr&ograve;n đường k&iacute;nh $CD$ (do $O$ l&agrave; trung điểm $CD$)   =>AB l&agrave; tiếp tuyến tại $O$ của đường tr&ograve;n đường k&iacute;nh $CD$ (đpcm)   $  $   c) V&igrave; $AC=NC; AO=NO=R$    =>CO l&agrave; đường trung trực của $NA$   Gọi $H$ l&agrave; trung điểm của $NA$   =>CO$ perp NA$ tại $H$   =>NA=2AH   X&eacute;t $∆ACO$ vu&ocirc;ng tại $A$ c&oacute; $AH perp CO$   =>1/{AH^2}=1/{AC^2}+1/{AO^2} (hệ thức lượng)   =>1/{AH^2}=1/{(R/2)^2}+1/{R^2}=5/{R^2}   =>AH^2={R^2}/5=>AH=R/ sqrt{5}={R sqrt{5}}/5    qquad NA=2AH={2R sqrt{5}}/5   $  $   V&igrave; $AC.BD=R^2$ (c&acirc;u a)   =>BD={R^2}/{AC}={R^2}/{R/2}=2R   Tương tự gọi $K$ l&agrave; trung điểm $BN$ chứng minh được:    qquad 1/{BK^2}=1/{BD^2}+1/{BO^2} (hệ thức lượng)   =1/{(2R)^2}+1/{R^2}=5/{4R^2}   =>BK^2={4R^2}/5=>BK={2R}/ sqrt{5}={2R sqrt{5}}/5   =>NB=2BK={4R sqrt{5}}/5   Vậy: NA={2R sqrt{5}}/5; NB={4R sqrt{5}}/5