Toán Lớp 9: cho x,y là 2 số thực khác 0 thỏa mãn `x^2+y^2=1 ` tìm Max `F=(xy)/(x-y+1)`

Question

Toán Lớp 9:  cho x,y là 2 số thực khác 0 thỏa mãn x^2+y^2=1  tìm Max F=(xy)/(x-y+1)

truongthanhhung · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: Nhận xét $ : x; y neq 0 <=> F neq0$ Ta có $ : (x - y + 1)^{2} = x^{2} + y^{2} + 1 - 2xy + 2x - 2y$ $ = 2(x - y + 1) - 2xy = dfrac{2xy}{F} - 2xy$ Xét $: F = dfrac{xy}{x - y + 1} $ $ <=> F(x - y + 1) = xy$ $ => F^{2}(x - y + 1)^{2} = x^{2}y^{2} $ $ <=> 2F^{2}( dfrac{xy}{F} - xy) = x^{2}y^{2}$ $ <=> 4F - 4F^{2} = 2xy >= - (x^{2} + y^{2}) = - 1 (*)$ $ <=> 4F^{2} - 4F + 1 =< 2$ $ <=> (2F - 1)^{2} =< 2$ $ <=> dfrac{1 - sqrt{2}}{2} =< F =< dfrac{1 + sqrt{2}}{2} => MaxF = dfrac{1 + sqrt{2}}{2} $ Xảy ra khi $ (*) <=> x = - y <=> x = - dfrac{ sqrt{2}}{2}; y = dfrac{ sqrt{2}}{2}$ Chú ý $ : MinF = dfrac{1 - sqrt{2}}{2} $ Xảy ra khi $ (*) <=> x = - y <=> x = dfrac{ sqrt{2}}{2}; y = - dfrac{ sqrt{2}}{2}$