Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Phân giác trong góc HAB, HAC cắt BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Phân giác trong góc HAB, HAC cắt BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PQ^2=2PB.QC

dananhthumai · Answer

Đầu ti&ecirc;n, chứng minh:   $ Delta BAQ$ c&acirc;n tại $B$   $ Delta CAP$ c&acirc;n tại $C$   (bạn tự chứng minh)       C&oacute;: $PQ=BC-BP-CQ$   $ Leftrightarrow PQ=BC- left( BQ-PQ  right)- left( CP-PQ  right)$   $ Leftrightarrow PQ=BC-BQ-CP+2PQ$   $ Leftrightarrow PQ=BC-AB-AC+2PQ$   $ Leftrightarrow PQ=AB+AC-BC$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}={{ left( AB+AC-BC  right)}^{2}}$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}+2AB.AC-2AB.BC-2AC.BC$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=2B{{C}^{2}}+2AB.AC-2AB.BC-2AC.BC$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}= left( 2B{{C}^{2}}-2AC.BC  right)+ left( 2AB.AC-2AB.BC  right)$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=2BC left( BC-AC  right)-2AB left( BC-AC  right)$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=2 left( BC-AC  right) left( BC-AB  right)$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=2 left( BC-CP  right) left( BC-BQ  right)$   $ Leftrightarrow P{{Q}^{2}}=2PB.QC$